Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)\(=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) - выражения с иксом (или другой переменной).

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. 

Например:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\)\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)


Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9x^2-1}{3}\)\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)\(+8x^2=6\)



Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.


Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

  1. Выпишите и «решите» ОДЗ.

  2. Найдите общий знаменатель дробей.

  3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

  4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

  5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

  6. Решите полученное уравнение.

  7. Проверьте найденные корни с ОДЗ.

  8. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.


Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

Решение:

\(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

ОДЗ:   \(x-2≠0⇔x≠2\)
\(x+2≠0 ⇔x≠-2\)
\(x^2-4≠0⇔ x≠±2\)

Сначала записываем и "решаем" ОДЗ.

\(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

 

По формуле сокращенного умножения: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\).

\(\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} - \frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=\frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\)

 

Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.

\(x(x+2)-7(x-2)=8\)

 

Раскрываем скобки

\(x^2+2x-7x+14=8\)


Приводим подобные слагаемые

\(x^2-5x+6=0\)


Решаем полученное квадратное уравнение.

\(x_1=2;\)            \(x_2=3\)


Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень - посторонний. В ответ записываем только второй.

Ответ: \(3\).


Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\)

ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\)
\(x+5≠0 ⇔x≠-5\)
\(x^2+7x+10≠0\)
\(D=49-4 \cdot 10=9\)
\(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\)
\(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)

Записываем и «решаем» ОДЗ.




Раскладываем   квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на  множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)

 

Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.

\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\)
\(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\)
\(=0\)

 

Сокращаем дроби

\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

 

Раскрываем скобки

\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)


Приводим подобные слагаемые

\(2x^2+9x-5=0\)


Находим корни уравнения

\(x_1=-5;\)        \(x_2=\frac{1}{2}.\)


Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: \(\frac{1}{2}\).


Смотрите также:
Дробно-рациональные  неравенства

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*
Денис
у меня одного негрузит сайт???? только "шапка" одна
Администратор сайта
Если страница не грузится, попробуйте, нажать "скачать статью".