Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения
Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)\(=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) - выражения с иксом (или другой переменной).
Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Например:
\(\frac{9x^2-1}{3x}\)\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)
Пример не дробно-рациональных уравнений:
\(\frac{9x^2-1}{3}\)\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)\(+8x^2=6\)
Как решаются дробно-рациональные уравнения?
Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.
Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:
-
Выпишите и «решите» ОДЗ.
-
Найдите общий знаменатель дробей.
-
Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
-
Запишите уравнение, не раскрывая скобок.
-
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
-
Решите полученное уравнение.
-
Проверьте найденные корни с ОДЗ.
-
Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.
Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.
Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)
Решение:
\(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\) |
Сначала записываем и "решаем" ОДЗ. |
|
\(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\) |
По формуле сокращенного умножения: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\). |
|
\(\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} - \frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=\frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\) |
Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение. |
|
\(x(x+2)-7(x-2)=8\) |
Раскрываем скобки |
|
\(x^2+2x-7x+14=8\) |
|
Приводим подобные слагаемые |
\(x^2-5x+6=0\) |
|
Решаем полученное квадратное уравнение. |
\(x_1=2;\) \(x_2=3\) |
|
Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень - посторонний. В ответ записываем только второй. |
Ответ: \(3\).
Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\)
Решение:
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\) |
Записываем и «решаем» ОДЗ. |
|
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\) |
Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение. |
|
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) |
Сокращаем дроби |
|
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
Раскрываем скобки |
|
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
|
Приводим подобные слагаемые |
\(2x^2+9x-5=0\) |
|
Находим корни уравнения |
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\) |
|
Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень. |
Ответ: \(\frac{1}{2}\).
Смотрите также:
Дробно-рациональные неравенства
Хочу задать вопрос