Теорема Виета. Примеры использования

Теорема Виета. Если \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(x^2+px+q=0\),то \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\)

Теорема Виета часто используется для проверки уже найденных корней квадратного уравнения. Если вы нашли корни, то сможете с помощью формул \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вычислить значения \(p\) и \(q\). И если они получатся такими же как в исходном уравнении – значит корни найдены верно.

Например, пусть мы, используя дискриминант, решили уравнение \(x^2+x-56=0\) и получили корни: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Проверим, не ошиблись ли мы в процессе решения. В нашем случае коэффициент \(p=1\), а \(q=-56\). По теореме Виета имеем:

\(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}7+(-8)=-1\\7\cdot(-8)=-56\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}-1=-1\\-56=-56\end{cases}\)

Оба утверждения сошлись, значит, мы решили уравнение правильно.

Такую проверку можно проводить устно. Она займет 5 секунд и убережет вас от глупых ошибок.




Обратная теорема Виета

Если \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\), то \(x_1\) и \(x_2\) – корни квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\).

Или по-простому: если у вас есть уравнение вида \(x^2+px+q=0\), то решив систему \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вы найдете его корни.

Благодаря этой теореме можно быстро подобрать корни квадратного уравнения, особенно если эти корни – целые числа. Это умение важно, так как экономит много времени.


Пример. Решить уравнение \(x^2-5x+6=0\).

Решение: Воспользовавшись обратной теоремой Виета, получаем, что корни удовлетворяют условиям: \(\begin{cases}x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end{cases}\).
Посмотрите на второе уравнение системы \(x_1 \cdot x_2=6\). На какие два множителя можно разложить число \(6\)? На \(2\) и \(3\),   \(6\) и \(1\)   либо \(-2\) и \(-3\), и \(-6\) и \(-1\). А какую пару выбрать, подскажет первое уравнение системы: \(x_1+x_2=5\). Походят \(2\) и \(3\), так как \(2+3=5\).
Ответ: \(x_1=2\), \(x_2=3\).


Примеры. Используя теорему, обратную теореме Виета, найдите корни квадратного уравнения:
а) \(x^2-15x+14=0\);   б) \(x^2+3x-4=0\);   в) \(x^2+9x+20=0\);   г)  \(x^2-88x+780=0\).

Решение:
а) \(x^2-15x+14=0\) – на какие множители раскладывается \(14\)?  \(2\) и \(7\), \(-2\) и \(-7\), \(-1\) и \(-14\), \(1\) и \(14\). Какие пары чисел в сумме дадут \(15\)?  Ответ: \(1\) и \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – на какие множители раскладывается \(-4\)? \(-2\) и \(2\),   \(4\) и \(-1\),   \(1\) и \(-4\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-3\)?   Ответ: \(1\) и \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – на какие множители раскладывается \(20\)?   \(4\) и \(5\),   \(-4\) и \(-5\),    \(2\) и \(10\),     \(-2\) и \(-10\),   \(-20\) и \(-1\),     \(20\) и \(1\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-9\)? Ответ: \(-4\) и \(-5\).

г) \(x^2-88x+780=0\) – на какие множители раскладывается \(780\)?  \(390\) и \(2\). Они в сумме дадут \(88\)? Нет. Еще какие множители есть у \(780\)?   \(78\) и \(10\). Они в сумме дадут \(88\)?  Да. Ответ:  \(78\) и \(10\).

Необязательно последнее слагаемое раскладывать на все возможные множители (как в последнем примере). Можно сразу проверять дает ли их сумма \(-p\).


Важно! Теорема Виета и обратная теорема работают только с приведённым квадратным уравнением, то есть таким, у которого коэффициент перед \(x^2\) равен единице. Если же у нас изначально дано не приведенное уравнение, то мы можем сделать его приведенным, просто разделив на коэффициент, стоящий перед \(x^2\).

Например, пусть дано уравнение \(2x^2-4x-6=0\) и мы хотим воспользоваться одной из теорем Виета. Но не можем, так как коэффициент перед \(x^2\) равен \(2\). Избавимся от него, разделив все уравнение на \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\)       \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)                

Готово. Теперь можно пользоваться обеими теоремами.




Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: По теореме Виета можно решить любые квадратные уравнения?
Ответ: К сожалению, нет. Если в уравнении не целые корни или уравнение вообще не имеет корней, то теорема Виета не поможет. В этом случае надо пользоваться дискриминантом. К счастью, 80% уравнений в школьном курсе математике имеют целые решения.

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*