Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений
Квадратные уравнения (вида \(ax^2+bx+c=0\)) у которых хотя бы один из коэффициентов (\(b\) или \(c\)) равен нулю, называют неполными.
Например:
|
\(3x^2-27=0\) |
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27\) |
|
|
\(-x^2+x=0\) |
\(a=-1;\) \(b=1;\) \(c=0\) |
|
|
\(5x^2=0\) |
\(a=5;\) \(b=0;\) \(c=0\) |
Превращение полного квадратного уравнения в неполное выглядит так (для случая \(b=0\)):
Для случаев, когда \(с=0\) или когда оба коэффициента равны нулю - всё аналогично.
Обратите внимание, что про равенство нулю \(a\) речи не идет, оно равно нулю быть не может, так как в этом случае уравнение превратиться в линейное:
Решение неполных квадратных уравнений
Прежде всего, надо понимать, что неполное квадратное уравнение все-таки является квадратным уравнением, поэтому может быть решено также как и обычное квадратное (через дискриминант). Для этого просто дописываем недостающий компонент уравнения с нулевым коэффициентом.
Пример: Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение:
|
\(3x^2-27=0\) |
У нас неполное квадратное уравнение с коэффициентом \(b=0\). То есть, мы можем записать уравнение в следующем виде: |
|
|
\(3x^2+0\cdot x-27=0\) |
Фактически здесь то же самое уравнение, что и в начале, но теперь его можно решать как обычное квадратное. Сначала выписываем коэффициенты. |
|
|
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\) |
Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) |
Найдем корни уравнения по формулам |
|
|
\(x_{1}=\)\(\frac{-0+\sqrt{324}}{2\cdot3}\)\(=\)\(\frac{18}{6}\)\(=3\) |
|
Записываем ответ |
Ответ: \(x_{1}=3\); \(x_{2}=-3\)
Пример: Найдите корни уравнения \(-x^2+x=0\)
Решение:
|
\(-x^2+x=0\) |
Опять неполное квадратное уравнение, но теперь нулю равен коэффициент \(c\). Записываем уравнение как полное. |
|
|
\(-x^2+x+0=0\) |
Вновь у нас уравнение равносильное исходному. Решаем его. Выписываем коэффициенты. |
|
|
\(a=-1;\) \(b=1;\) \(c=0;\) |
Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=1^2-4\cdot(-1)\cdot0=1+0=1\) |
Найдем корни уравнения по формулам |
|
|
\(x_{1}=\)\(\frac{-1+\sqrt{1}}{2\cdot(-1)}\)\(=\)\(\frac{0}{-2}\)\(=0\) |
|
Записываем ответ |
Ответ: \(x_{1}=0\); \(x_{2}=1\)
Готово. И вроде все хорошо, если бы не одно но: для решения неполных квадратных уравнений есть способ лучше, быстрее и проще. Решать такие уравнения с помощью дискриминанты - это как нарезать мясо мечом.
Пример: Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение:
|
\(3x^2-27=0\) |
Нам нужно значение икса, а есть только икс в квадрате. Ну так давайте выясним, чему равен \(x^2\), и уже оттуда найдем икс! |
|
|
\(3x^2=27\) |
Теперь разделим обе части уравнения на число перед иксом в квадрате, то есть, на тройку. |
|
|
\(3x^2=27\) \(|:3\) |
Ну и совсем просто: икс в квадрате равен 9. Чему равен сам икс? Понятно, что тройке либо минус тройке. |
|
|
\(x_{1}=3\); \(x_{2}=-3\) |
|
Записываем ответ |
Ответ: \(x_{1}=3\); \(x_{2}=-3\)
Вот и все! Просто? Еще бы! Поэтому неполные квадратные уравнения обычно решают именно такими преобразованиями, а не через дискриминант.
Теперь рассмотрим неполное квадратное другого типа (когда \(c=0\))
Пример: Найдите корни уравнения \(-x^2+x=0\)
Решение:
|
\(-x^2+x=0\) |
Какое действие тут напрашивается? Вынесение за скобку икса. Делаем. |
|
|
\(x\cdot(-x+1)=0\) |
Получилось, что произведение двух множителей равно нулю. Но это возможно, только если один из множителей равен нулю (продвинутые ученики тут узнали логику решения уравнения методом расщепления). То есть имеем: |
|
|
\(x=0\) или \(-x+1=0\) |
Первый корень уже есть. Без проблем находим второй, решая простое линейное уравнение, и пишем ответ. |
|
|
\(x_{1}=0\) \(-x=-1\) |
||
|
\(x_{2}=1\) |
|
Записываем ответ |
Ответ: \(x_{1}=0\); \(x_{2}=1\)
Еще проще – все решение заняло три строчки.
Разберем последний тип (когда и \(b\), и \(с\) равны нулю).
Пример: Решите уравнение \(5x^2=0\)
Решение:
|
\(5x^2=0\) |
Разделим уравнение на пять. |
|
|
\(5x^2=0\) \(|:5\) |
|
|
|
\(x^2=0\) |
Ну и какое число в квадрате равно нулю? Ноль. |
|
|
\(x=0\) |
|
Записываем ответ |
Ответ: \(x=0\)
Матхак: на всякий случай, помните, что вы всегда можете решить неполное квадратное уравнение через дискриминант (хотя это и не приветствуется из-за нерациональности).
Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте
Хочу задать вопрос