Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

Квадратные уравнения (вида \(ax^2+bx+c=0\)) у которых хотя бы один из коэффициентов (\(b\) или \(c\)) равен нулю, называют неполными.

Например:

\(3x^2-27=0\)

            

\(a=3;\)   \(b=0;\)   \(c=-27\)

\(-x^2+x=0\)

 

\(a=-1;\)   \(b=1;\)   \(c=0\)

\(5x^2=0\)

 

\(a=5;\)   \(b=0;\)   \(c=0\)

Превращение полного квадратного уравнения в неполное выглядит так (для случая \(b=0\)):

неполное квадратное уравнение.png

Для случаев, когда \(с=0\) или когда оба коэффициента равны нулю - всё аналогично.

Обратите внимание, что про равенство нулю \(a\) речи не идет, оно равно нулю быть не может, так как в этом случае уравнение превратиться в линейное:

почему коэффициент а не равен нулю.png



Решение неполных квадратных уравнений

Прежде всего, надо понимать, что неполное квадратное уравнение все-таки является квадратным уравнением, поэтому может быть решено также как и обычное квадратное (через дискриминант). Для этого просто дописываем недостающий компонент уравнения с нулевым коэффициентом.

Пример: Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение:

\(3x^2-27=0\)

                              

У нас неполное квадратное уравнение с коэффициентом \(b=0\). То есть, мы можем записать уравнение в следующем виде:

\(3x^2+0\cdot x-27=0\)

 

Фактически здесь то же самое уравнение, что и в начале, но теперь его можно решать как обычное квадратное. Сначала выписываем коэффициенты.

\(a=3;\)      \(b=0;\)      \(c=-27;\)

 

Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\)
\(=0+324=324\)

 

Найдем корни уравнения по формулам
\(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\)\(\frac{-0+\sqrt{324}}{2\cdot3}\)\(=\)\(\frac{18}{6}\)\(=3\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-0-\sqrt{324}}{2\cdot3}\)\(=\)\(\frac{-18}{6}\)\(=-3\)


Записываем ответ

Ответ: \(x_{1}=3\);    \(x_{2}=-3\)


Пример: Найдите корни уравнения \(-x^2+x=0\)
Решение:

\(-x^2+x=0\)

                                                           

Опять неполное квадратное уравнение, но теперь нулю равен коэффициент \(c\). Записываем уравнение как полное.

\(-x^2+x+0=0\)

 

Вновь у нас уравнение равносильное исходному. Решаем его. Выписываем коэффициенты.

\(a=-1;\)      \(b=1;\)      \(c=0;\)

 

Вычислим дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

\(D=1^2-4\cdot(-1)\cdot0=1+0=1\)

 

Найдем корни уравнения по формулам
\(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\)\(\frac{-1+\sqrt{1}}{2\cdot(-1)}\)\(=\)\(\frac{0}{-2}\)\(=0\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-1-\sqrt{1}}{2\cdot(-1)}\)\(=\)\(\frac{-2}{-2}\)\(=1\)


Записываем ответ

Ответ: \(x_{1}=0\);    \(x_{2}=1\)

Готово. И вроде все хорошо, если бы не одно но: для решения неполных квадратных уравнений есть способ лучше, быстрее и проще. Решать такие уравнения с помощью дискриминанты - это как нарезать мясо мечом.

решать неполные квадратные уравнения через дискриминант - это как нарезать мясо мечом


Пример: Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение:

\(3x^2-27=0\)

        

Нам нужно значение икса, а есть только икс в квадрате. Ну так давайте выясним, чему равен \(x^2\), и уже оттуда найдем икс!
Для начала перенесем свободный член через равно, поменяв знак.

\(3x^2=27\)

 

Теперь разделим обе части уравнения на число перед иксом в квадрате, то есть, на тройку.

\(3x^2=27\)      \(|:3\)

\(x^2=9\)

 

Ну и совсем просто: икс в квадрате равен 9. Чему равен сам икс? Понятно, что тройке либо минус тройке.

\(x_{1}=3\);       \(x_{2}=-3\)


Записываем ответ

Ответ: \(x_{1}=3\);    \(x_{2}=-3\)

Вот и все! Просто? Еще бы! Поэтому неполные квадратные уравнения обычно решают именно такими преобразованиями, а не через дискриминант.

Теперь рассмотрим неполное квадратное другого типа (когда \(c=0\))


Пример: Найдите корни уравнения \(-x^2+x=0\)
Решение:

\(-x^2+x=0\)

                                                           

Какое действие тут напрашивается? Вынесение за скобку икса. Делаем.

\(x\cdot(-x+1)=0\)

 

Получилось, что произведение двух множителей равно нулю. Но это возможно, только если один из множителей равен нулю (продвинутые ученики тут узнали логику решения уравнения методом расщепления). То есть имеем:

\(x=0\)     или     \(-x+1=0\)

 

Первый корень уже есть. Без проблем находим второй, решая простое линейное уравнение, и пишем ответ.

\(x_{1}=0\)                 \(-x=-1\)  

 

                                \(x_{2}=1\)


Записываем ответ

Ответ: \(x_{1}=0\);    \(x_{2}=1\)

Еще проще – все решение заняло три строчки.

Разберем последний тип (когда и \(b\), и \(с\) равны нулю).


Пример: Решите уравнение \(5x^2=0\)
Решение:

\(5x^2=0\)

                        

Разделим уравнение на пять.

\(5x^2=0\)     \(|:5\)

 

\(x^2=0\)

 

Ну и какое число в квадрате равно нулю? Ноль.
Вот и всё решение!

\(x=0\)


Записываем ответ

Ответ: \(x=0\)

Матхак: на всякий случай, помните, что вы всегда можете решить неполное квадратное уравнение через дискриминант (хотя это и не приветствуется из-за нерациональности).

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*