Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы?

В статье мы рассмотрим, как найти значения:

\(\cos\frac{π}{6}\),       \(\sin⁡(-\frac{7π}{3})\),     \(\cos\frac{3π}{4}\),     \(\sin⁡(-\frac{27π}{2})\)

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Для начала внимательно прочтите статью о числовой окружности. Вы должны научиться находить точки на окружности в числах с Пи.

Уже умеете? Тогда два ключевых утверждения:

Например, пусть нам нужно найти синус и косинус числа \(\frac{π}{6}\). Обозначим на числовой окружности точку со значением \(\frac{π}{6}\).

Если построить все точно и крупно, то можно убедиться, что абсцисса этой точки будет равна \(0,866…\) , что соответствует числу \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) , а ордината равна \(0,5\), то есть \(\frac{1}{2}\).

Значит, что \(\cos⁡(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), а \(\sin(\frac{π}{6}) ⁡=\frac{1}{2}\).

Аналогично и для любой другой точки: значение абсциссы совпадает со значением косинуса, а ординаты – синуса. Поэтому:

И обычно на них не наносят значения в десятичных (\(0,1\); \(0,2\); \(0,3\) и т.д.), а сразу отмечают стандартные значения для синуса и косинуса: \(\frac{1}{2} =0,5\); \(\frac{\sqrt{2}}{2} ≈0,707\); \(\frac{\sqrt{3}}{2}≈0,866\), причем, как со знаком плюс, так и минус. Почему стандартные значения синуса и косинуса именно \(\frac{1}{2}\),\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) вы можете узнать из этого видео.

Как находить значения синуса и косинуса без таблицы, а только с помощью круга?

Алгоритм прост:

1. Начертите круг и оси косинусов и синусов.
2. Отметьте на круге число, синус и косинус которого надо найти. Если с этим возникают проблемы, прочитайте здесь о том, как расставлять числа на числовой окружности. 
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример. Найдите синус и косинус для числа \(-\frac{7π}{6}\).
Решение:\(-\frac{7π}{6}=-\frac{6π}{6}-\frac{π}{6}=-π-\frac{π}{6}\) , то есть, чтобы отметить на окружности точку \(-\frac{7π}{6}\) сначала находим число \(-π\) и от него в отрицательную сторону откладываем дугу длиной \(\frac{π}{6}\).

Отмечаем число, синус и косинус которого надо найти:

Получается, что \(\sin⁡(-\frac{7π}{6})=\frac{1}{2}\), \(\cos⁡(-\frac{7π}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Пример. Вычислите \(\sin\frac{5π}{2}\) и \(\cos\frac{5π}{2}\).
Решение:  \(\frac{5π}{2}=\frac{4π+π}{2}=\frac{4π}{2}+\frac{π}{2}=2π+\frac{π}{2}\).

Точка \(\frac{5π}{2}\) совпадает с \(1\) на оси синусов, значит \(\sin⁡\frac{5π}{2}=1\). А если провести перпендикуляр из точки \(\frac{5π}{2}\) до оси косинусов, то можно убедиться, что он попадет в \(0\). Поэтому \(\cos\frac{5π}{2}=0\).

И тут некоторые из вас подумали: «с кругом, на котором подписаны числа, каждый дурак сможет посчитать, а что делать, когда его под рукой нет? Что делать на ЕГЭ?» Ответ прост – нарисуйте круг сами! Для этого вам будет нужно понять логику расположения чисел на осях (подробнее об этом читайте в статье «Как запомнить тригонометрический круг»).

Пример. Найдите а) \(\sin⁡\frac{3π}{2}\), б) \(\cos⁡\frac{3π}{4}\), в) \(\sin⁡(-\frac{π}{3})\) .
Решение: а) Чертим круг, оси и отмечаем число \(\frac{3π}{2}\). Обращаем внимание на ось синусов и понимаем, что точка совпала с \(-1\), получается \(\sin⁡\frac{3π}{2}=-1\).
б) \(\frac{3π}{4}=\frac{4π}{4}-\frac{π}{4}=π-\frac{π}{4}\) - отмечаем число на круге. Проводим перпендикуляр до оси косинусов и вспоминаем, что точки со знаменателем \(4\) находятся посередине. Мы еще попали и в отрицательную часть оси косинусов, получается \(\cos⁡\frac{3π}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
в) \(-\frac{π}{3}\) – отмечаем число на круге. Видим, что перпендикуляр к оси синусов попал в точку близкую к \(-1\), значит \(\sin⁡(-\frac{π}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Как видите не обязательно рисовать, очень красивую или очень большую окружность - вы можете определить нужное вам значение, быстро набросав круг. И ничего не надо учить!

Если вы хотите еще примеров с вычислением синусов и косинусов без тригонометрической таблицы, то прочтите эту статью.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(\frac{8}{\sin⁡(-\frac{27π}{4}) \cos⁡(\frac{31π}{4})}\) .
Решение.    \(-\frac{27π}{4}=-\frac{28π}{4}+\frac{π}{4}=-7π+\frac{π}{4}\).
\(\frac{31π}{4}=\frac{32π}{4}-\frac{π}{4}=8π-\frac{π}{4}\).

\(\sin⁡(-\frac{27π}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\),      \(\cos⁡(\frac{31π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\frac{8}{\sin⁡(-\frac{27π}{4}) \cos⁡(\frac{31π}{4})}\)\(=\) \(\frac{ 8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}\)\(=-8:\frac{2}{4}=-8\cdot\frac{2}{1}=-16\).

Ответ: \(-16\).

Смотрите также:
Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?
Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов