Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?

В статье мы расскажем, как находить значения:

\(\cos300^°\),       \(\sin⁡(-540^°)\),     \(\cos 510^°\),     \(\sin⁡(-135^°)\)

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла \(30^°\). Отложим на круге угол в \(30^°\) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна \(0,866\)… , что равно числу \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) , а ордината равна \(0,5\), то есть \(\frac{1}{2}\).

Получается, \(\cos 30^° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), а \(\sin⁡30^° =\frac{1}{2}\).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

Обычно на осях не отмечают \(0,1\); \(0,2\); \(0,3\) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: \(±\frac{1}{2}=±0,5\);    \(±\frac{\sqrt{2}}{2} ≈±0,707\);     \(±\frac{\sqrt{3}}{2} ≈±0,866\).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Для этого нужно знать несколько фактов:

• Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

• Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;

• Градусная мера окружности равна \(360^°\), полуокружности \(180^°\),  а четверти \(90^°\);

• Углы в \(0^°\), \(30^°\), \(45^°\) и \(60^°\) выглядят так:

    

• Одна точка может соответствовать разным углам;


• Угол может быть больше \(360^°\). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно \(360^°\) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в \(90^° \) и \(-90^°\).
Решение:

Пример. Отметьте угол в \(225^° \) и \(-135^°\).
Решение:   \(225^°=180^°+45^°\)
\(-135^°=-90^°-45^°\)

Пример. Отметьте угол в \(420^° \) и \(-390^°\).
Решение:    \(420^°=360^°+60^°\)
\(-390^°=-360^°-30^°\)

    

Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: \(720^°\), \(225^°\), \(300^°\), \(870^°\), \(900^°\), \(-330^°\), \(-630^°\), \(-210^°\).

Как находить синус и косинус любого угла?

Простой алгоритм:

1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример.  Вычислите \(\sin⁡300^°\) и \(\cos⁡300^°\) .
Решение:   \(⁡300^°=360^°-60^°\)

\(\cos⁡ 300^°=\frac{1}{2}\),     \(\sin⁡{300^°}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Пример . Вычислите \(\sin⁡(-540^°)\) и \(\cos(-540^°)\) .
Решение.    \(-540^°=-360^°-180^°\).

\(-540^°\) на тригонометрическом круге совпадает с \(-1\) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: \((-1;0)\). Значит, \(\cos⁡(-540^°)=-1\), а \(\sin⁡(-540^° )=0\).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения \(-18\sqrt{2}\sin⁡(-135^°)\).
Решение. \(-135^°=-90^°-45^°\)

Получается \(-18\sqrt{2} \sin⁡(-135^° )=-18\sqrt{2}\cdot-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{18\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=9\cdot 2=18.\)
Ответ: \(18\).

Пример . Найдите значение выражения \(54\sqrt{3}\cos⁡(510^°)\).
Решение. \(510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.\)

\(54\sqrt{3}\cos⁡(510^°)=54\sqrt{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{54\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=-27\cdot 3=-81.\)
Ответ: \(-81\).

Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов