Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.


Пример:

а) \(\begin{cases}x-2y=5\\3x+2y=7\end{cases}\)

г) \(\begin{cases}3(5-x)-4y=0\\y-2x+4=0 \end{cases}\)

б)\(\begin{cases}3b=13-2a\\5a=5-2b \end{cases}\)

д)\(\begin{cases}\frac{p}{3} + \frac{m-6}{2} = 1-9m \\11p+3(m-p-1)=-2(m+1) \end{cases}\)

в)\(\begin{cases}3x-8=2y\\x+y=6\end{cases}\)

е)\(\begin{cases}0,02y=1,25-3,21x \\1,5x-\frac{3}{4}=4-0,1y\end{cases}\)



Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin{cases}3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end{cases}\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) - не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin{cases}1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end{cases}\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо "\(x=3\); \(y=-1\)" пишут так: \((3;-1)\).




Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

  1. Способ подстановки.

    1. Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

      \(\begin{cases}x-2y=5\\3x+2y=7 \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\3x+2y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)

    2. Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

      \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)

    3. Равносильными преобразованиями уравнений найдите  по очереди каждое неизвестное.

      \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\15+6y+2y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=5+2y\\8y=-8\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=5+2y\\y=-1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=5-2\\y=-1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=3\\y=-1\end{cases}\)

    4. Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

      Ответ: \((3;-1)\)

    Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

    Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение. Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

    \(\begin{cases}x-2y=5\\3x+2y=7 \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\3x=7-2y\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=5+2y\\x=\frac{7-2y}{3}\end{cases}\)

    И сейчас нам нужно будет эту  дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее



  2. Способ алгебраического сложения.
    1. Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begin{cases}a_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end{cases}\).

      \(\begin{cases}3y=13-2x\\5x=5-2y\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}2x+3y=13\\5x+2y=5\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)

    2. Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты  при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе - на \(3\).

      \(\begin{cases}2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}4x+6y=26\\15x+6y=15\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)

    3. Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

      Сложение линейных уравнений

    4. Найдите неизвестное из полученного уравнения.

      \(-11x=11\)     \(|∶(-11)\)
      \(x=-1\)                

    5. Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

      \(3y=13-2x\)
      \(3y=13-2·(-1)\)
      \(3y=15\)
      \(y=5\)

    6. Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

      Ответ: \((-1;5)\)

    Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

    Пример. Решите систему уравнений: \(\begin{cases}12x-7y=2\\5y=4x-6\end{cases}\)

    Решение:

    \(\begin{cases}12x-7y=2\\5y=4x-6\end{cases}\)

                                  

    Приводим систему к виду \(\begin{cases}a_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end{cases}\) преобразовывая второе уравнение.

    \(\begin{cases}12x-7y=2\\-4x+5y=-6\end{cases}\)

     

    «Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

    \(\begin{cases}12x-7y=2\\-12x+15y=-18\end{cases}\)

     

    Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

    \(0·x+8y=-16\)

         

    Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

    \(y=-2\)

         

    Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

    \(12x-7·(-2)=2\)
    \(12x+14=2\)
    \(12x=-12\)
    \(x=-1\)

    Икс тоже найден. Пишем ответ.

    Ответ: \((-1;-2)\)



  3. Графический способ.
    1. Приведите каждое уравнение к виду линейной функции  \(y=kx+b\).

      \(\begin{cases}3x-8=2y\\x+y=6\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}2y=3x-8 |:2\\y=6-x\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}y=\frac{3}{2}x-4\\y=-x+6\end{cases}\)

    2. Постройте  графики  этих  функций.  Как?  Можете  прочитать  здесь.

      решение системы линейных уравнений графическим способом

    3. Найдите координаты \((x;y)\) точки пересечения графиков и запишите их в ответ в виде \((x_0;y_0 )\).
      Ответ: \((4;2)\)

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin{cases}3x-8=2y\\x+y=6\end{cases}\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

\(\begin{cases}3\cdot 4-8=2\cdot 2\\4+2=6\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} 12-8=4\\6=6\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} 4=4\\6=6\end{cases}\)



Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end{cases}\)

Решение:

\(\begin{cases}3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end{cases}\)

                              

Раскроем скобки в уравнениях.

\(\begin{cases}15x+9y-6=2x+11\\4x-15=11-8x+2y\end{cases}\)

 

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

\(\begin{cases}15x-2x+9y=11+6\\4x+8x-2y=11+15\end{cases}\)

 

Приведем подобные слагаемые.

\(\begin{cases}13x+9y=17\\12x-2y=26\end{cases}\)

     

Во втором уравнении каждое слагаемое - четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

\(\begin{cases}13x+9y=17\\6x-y=13\end{cases}\)

     

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

\(\begin{cases}13x+9y=17\\y=6x-13\end{cases}\)

Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

\(\begin{cases}13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end{cases}\)

Первое уравнение превратилась в обычное линейное.  Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

\(\begin{cases}13x+54x-117=17\\y=6x-13\end{cases}\)

Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

\(\begin{cases}67x=134\\y=6x-13\end{cases}\)

Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

\(\begin{cases}x=2\\y=6x-13\end{cases}\)

Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).

\(\begin{cases}x=2\\y=12-13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)

Запишем ответ.

Ответ: \((2;-1)\)

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*