Как доказать тригонометрическое тождество?

Математический словарь
Как доказать тригонометрическое тождество?

Тождество – равенство, верное при любых значениях переменных, кроме тех при которых какая-либо часть тождества не имеет смысла.

Примеры тождеств:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

А вот выражение \(\frac{x^2}{x}=x\) является тождеством только при условии \(x≠0\) (иначе левая часть не существует).

Как доказывать тождество?

Рецепт до одури прост:

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

Например,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

Для того, чтоб это сделать можно:

Преобразовывать только правую или только левую часть.
Преобразовывать обе части одновременно.
Использовать любые допустимые математические преобразования (например, приводить подобные; раскрывать скобки; переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак; умножать или делить левую и правую часть на одно и то же число или выражение, не равное нулю и т.д.).
Использовать любые математические формулы.

Именно четвертый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все формулы тригонометрии нужно знать, помнить и уметь использовать.

Пример. Доказать тригонометрическое тождество \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos{x}\)
Решение:

\(\sin⁡2x=2 \sin⁡x\cdot \cos{x} \)		Будем преобразовывать левую часть. Представим \(2x\) как \(x+x\)…
\(\sin⁡(x+x)=2 \sin{x} \cos⁡x \)		…и распишем по формуле для синуса суммы аргументов.
\(\sin⁡x\cos⁡x+\sin{x} \cos{x}=2 \sin{x}\cos⁡x\)		А теперь приведем подобные слагаемые.
\(2\sin⁡x \cos{x}=2\sin{x} \cos⁡x\)		Левая часть равна правой – тождество доказано.

Пример. Доказать, что выражение \(\frac {\cos^2{t}}{1-\sin⁡{t}}\)\(-\sin{⁡t}=1\) является тождеством.
Решение:

\(\frac {\cos^2{t}}{1-\sin⁡{t}}\)\(-\sin{⁡t}=1\)		Будем преобразовывать только левую часть. Приведем слагаемые к общему знаменателю.
\(\frac{\cos^2{t}-\sin{⁡t} (1-\sin⁡{t})}{1-\sin{⁡t} }\)\(=1\)		Раскроем скобки.
\(\frac{\cos^2{t}-\sin{⁡t}+\sin^2⁡{t}}{1-\sin{⁡t} }\)\(=1\)		Применим в числителе вездесущие основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2⁡{x}+\cos^2{⁡x}=1\).
\(\frac{1-\sin{⁡t}}{1-\sin{⁡t} }\)\(=1\)		Сократим дробь.
\(1=1\)		Левая часть равна правой, тождество доказано.

Пример. Доказать тригонометрическое тождество \(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos⁡2t}{\cos^2⁡t}\)
Решение:

\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos⁡2t}{\cos^2⁡t}\)		Здесь будем преобразовывать только правую часть, стремясь свести ее к левой. Левую же оставляем неизменной. Вспоминаем формулу двойного угла для косинуса.
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\)		Теперь сделаем почленное деление в дроби (т.е. применим правило для сложения дробей в обратную сторону): \(\frac{a+c}{b}\)\(=\) \(\frac{a}{b}\)\(+\)\(\frac{c}{b}\)
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos^2⁡t}{\cos^2⁡t}\)\(-\)\(\frac{\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\)		Первую дробь правой части сократим, а ко второй применим свойство степени: \(\frac{a^n}{b^n}\) \(=\)\((\frac{a}{b})^n\).
\(1-tg^2 t=1-\)\((\frac{\sin⁡t}{\cos⁡t})^2\)		Ну, а синус деленный на косинус равен тангенсу того же угла: \(\frac{\sin⁡x}{\cos⁡x}\)\(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)		Левая часть равна правой, тождество доказано.

Пример. Доказать тригонометрическое тождество \(\frac{\cos⁡2t}{\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t}\)\(=ctg(π+t)-1\)
Решение:

\(\frac{\cos⁡2t}{\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t}\)\(=ctg(π+t)-1\)		Здесь будем преобразовывать обе части: - в левой: преобразуем \(\cos⁡2t\) по формуле двойного угла; - а в правой \(ctg(π+t)\) по формуле приведения.
\(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t}\)\(=ctg\:t-1\)		Теперь работаем только с левой частью. В числителе воспользуемся формулой сокращенного умножения, в знаменателе вынесем за скобку синус.
\(\frac{(\cos⁡t-\sin{t})(\cos⁡t+\sin{t})}{\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡{t})}\)\(=ctg\:t-1\)		Сократим дробь на \(\cos{⁡t}+\sin{⁡t}\).
\(\frac{\cos⁡t-\sin{t}}{\sin⁡t}\)\(=ctg\:t-1\)		Почленно разделим дробь, превратив ее в две отдельные дроби.
\(\frac{\cos⁡t}{\sin{t}}-\frac{\sin{t}}{\sin{t}}\)\(=ctg\:t-1\)		Первая дробь это котангенс, а вторая равна единице.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		Левая часть равна правой, тождество доказано.

Как видите, все довольно несложно, но надо знать все формулы и свойства.

Как доказать основное тригонометрическое тождество

Два простых способа вывести формулу \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Нужно знать только теорему Пифагора и определение синуса и косинуса.

Ответы на часто задаваемые вопросы:

Вопрос: Как определить, что в тождестве надо преобразовывать – левую часть, правую или обе вместе?
Ответ: Нет никакой разницы – в любом случае вы получите один и тот же результат. Например, в третьем примере мы легко могли бы получить из левой части \(1-tg^2 t\) правую \(\frac{cos⁡2t}{cos^2⁡t}\) (попробуйте сделать это сами). Или преобразовывать обе, с тем чтоб они «встретились посередине», где-то в районе \(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\)\(=\)\(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\). Поэтому вы можете доказывать любым удобным вам способом. Какую «тропинку» видите – по той и идите. Главное только – преобразовывайте «законно», то есть понимайте на основании какого свойства, правила или формулы вы делаете очередное преобразование.

Смотрите также:
Тождество
Как доказать тождество

Скачать статью