Тождество

Примеры:

\(4+x^2-1=x^2+3\);
\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).

Что означает фраза «равенство, верное при любых … значениях переменных»? 

Все просто: какие бы мы числа не подставляли вместо букв, левая и правая часть будут равны. Например, возьмем равенство:

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

И подставим вместо него случайные значения \(a\) и \(b\). Для чистоты эксперимента вы можете взять свои значения \(a\) и \(b\) и проверить верность. Я возьму \(a=1,5\) и \(b=-1000\) и подставлю в формулу:

\(1,5^2-(-1000)^2=(1,5+(-1000))(1,5-(-1000))\)

Вычисляем левую и правую часть равенства:

\(2,25-1000000=(1,5-1000)(1,5+1000)\)
\(-999997,75=-998,5 \cdot 1001,5\)
\(-999997,75=-999997,75\)

Действительно, правая и левая часть оказались равны. И неважно, какие мы возьмем значения для \(a\) и \(b\) - левая часть всегда будет равна правой.

Поэтому равенство \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) - является тождеством.

Вообще все формулы в школьном курсе математики являются тождествами.

Кстати, тождество может и не содержать переменных. Например, \((2,5+5\cdot\frac{6}{15})^2=22-1,75\) – это тоже тождество, потому что после вычислений слева и справа мы получим одинаковое: \(20,25=20,25\).

Что означает слово «допустимых»? Бывают недопустимые значения?

Да, для некоторых тождеств – бывают. Например, тождество \(\frac{x^2}{x}\)\(=x\), верно только если \(x≠0\), потому что при \(x=0\) левая часть не существует из-за деления на ноль. Или верное равенство \(\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}\), являющееся одним из свойств квадратного корня – имеет ограничения \(x≥0\) и \(y≥0\), иначе под корнем будет отрицательное число, что опять же не может быть вычислено.

Однако разобранный выше пример \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) никаких ограничений не имеет, потому что тут нет исключительных ситуаций (те, кто уже прошел 8-ой класс, думаю, поняли откуда возникают эти ограничения – вся загвоздка в ОДЗ).

Поэтому в определении и есть оговорка про допустимость.

Матхак: если вам тяжело воспринимать слово «тождество» можно мысленно заменять его на слово «верное». Например, вместо «тождественное равенство» - «верное равенство», вместо «тождественное преобразование выражения» - «верное преобразование выражения» и т.д. Смысл при этом останется тем же самым.