Как доказать тождество?

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

 

В простых случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности, можно просто вычислить правую и левую части.

Пример. Доказать тождество \((2,5+5\cdot\) \(\frac{6}{15}\)\()^2=22-1,75\).
Решение:

\((2,5+5\cdot\) \(\frac{6}{15}\)\()^2=22-1,75\)
\( (2,5+\) \(\frac{6}{3}\)\()^2=20,25\)
\((2,5+2)^2=20,25\) 
\((4,5)^2=20,25\) 
\(20,25=20,25\) 
Тождество доказано.

В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что просто посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно: 

  1. Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).
  2. Преобразовывать только левую или только правую часть.
  3. Переносить слагаемые через равно, меняя знак.
  4. Умножать левую и правую часть на одно и то же число.
  5. Использовать все математические правила и формулы (формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.


Пример. Доказать тождество \((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)\).
Решение:

\((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)\)

Работаем с левой частью, не трогая правую.
С помощью формул сокращенного умножения раскроем скобки слева,…

\(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2)\)

…затем приводим подобные слагаемые,…

\(2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)\)

…после чего вынесем за скобку двойку.

\(2(a^2+b^2 )=2(a^2+b^2)\)

Обе части равны - тождество доказано

Пример. Доказать тождество \(x^2+\frac{1}{x^2} =(x+\frac{1}{x})^2-2\).
Решение:

\(x^2+\frac{1}{x^2} =(x+\frac{1}{x})^2-2\)

Преобразуем правую часть, не трогая левую.
Раскроем скобки с помощью формулы квадрата суммы,…

\(x^2+\frac{1}{x^2} =x^2+2x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} -2\)

…упростим одно из слагаемых, сократив \(x\) и \(\frac{1}{x}\), …

\(x^2+\frac{1}{x^2} =x^2+2+\frac{1}{x^2} -2\)

… и приводим подобные слагаемые   (\(2\) и \(-2\)).

\(x^2+\frac{1}{x^2} =x^2+\frac{1}{x^2}\)

Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано.



Смотрите также:
Тождество
Как доказать тригонометрическое тождество?



Скачать статью


Хочу задать вопрос

*