Как доказать тождество?
Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».
В простых случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности, можно просто вычислить правую и левую части.
Пример. Доказать тождество \((2,5+5\cdot\) \(\frac{6}{15}\)\()^2=22-1,75\).
Решение:
\((2,5+5\cdot\) \(\frac{6}{15}\)\()^2=22-1,75\)
\( (2,5+\) \(\frac{6}{3}\)\()^2=20,25\)
\((2,5+2)^2=20,25\)
\((4,5)^2=20,25\)
\(20,25=20,25\)
Тождество доказано.
В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что просто посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно:
- Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).
- Преобразовывать только левую или только правую часть.
- Переносить слагаемые через равно, меняя знак.
- Умножать левую и правую часть на одно и то же число.
- Использовать все математические правила и формулы (формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.
Пример.
Доказать тождество \((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)\).
Решение:
\((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)\) |
Работаем с левой частью, не трогая правую. |
\(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2)\) |
…затем приводим подобные слагаемые,… |
\(2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)\) |
…после чего вынесем за скобку двойку. |
\(2(a^2+b^2 )=2(a^2+b^2)\) |
Обе части равны - тождество доказано |
Пример.
Доказать тождество \(x^2+\frac{1}{x^2} =(x+\frac{1}{x})^2-2\).
Решение:
\(x^2+\frac{1}{x^2} =(x+\frac{1}{x})^2-2\) |
Преобразуем правую часть, не трогая левую. |
\(x^2+\frac{1}{x^2} =x^2+2x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} -2\) |
…упростим одно из слагаемых, сократив \(x\) и \(\frac{1}{x}\), … |
\(x^2+\frac{1}{x^2} =x^2+2+\frac{1}{x^2} -2\) |
… и приводим подобные слагаемые (\(2\) и \(-2\)). |
\(x^2+\frac{1}{x^2} =x^2+\frac{1}{x^2}\) |
Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано. |
Смотрите также:
Тождество
Как доказать тригонометрическое тождество?
Скачать статью
Хочу задать вопрос