Уравнения смешанного типа

Смешанные уравнения – это уравнения, в которых переменная находится в функциях разных типов.

Примеры:

\(\sin⁡2x+3x=3\)
\(15^{\cos⁡x} =3^{\cos⁡x}\cdot5^{\sin⁡x}\)
\(\log_2{⁡x}=3+x\)




Решение смешанного уравнения

Каждое такое уравнение решается очень индивидуально. Общего метода решения – нет. В некоторых уравнениях нужно умело использовать формулы. В других помогут графики функций.

Пример. Решить уравнение \(\log_2⁡x=-x+1\).
Решение: Здесь никакие преобразования не помогут найти корень. Это отличительный признак уравнений, решающихся графически.
Представим левую и правую части уравнения как функции: \(f(x)=\log_2⁡x\) и \(g(x)=-x+1\). Уравнения требует, чтоб они были равны – значит, графики этих функций должны пересекаться, а точка пересечения и будет корнем уравнения.
Построим графики функций и найдем точки пересечений.


графическое решение

Единственная точка пересечения - \((1;0)\). Значит, корнем уравнения будет значение \(x=1\). Проверим это подстановкой:

\(\log_2⁡1=-1+0\)
\(0=0\)

Сошлось.
Ответ: \(1\).

Конечно, некоторые из вас сразу нашли этот корень простым подбором, но это не будет полноценным решением. Почему? Потому что вы не можете быть уверены, что других корней нет, а график функций снимает этот вопрос - он четко показывает: корень здесь только один.



Пример(задание из ЕГЭ). Решите уравнение \(15^{\cos⁡x} =3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\sin⁡x}\).
Решение:

\(15^{\cos⁡x} =3^{\cos⁡x}\cdot 5^{\sin⁡x} \)



                              

Это показательно-тригонометрическое уравнение.
Обратим внимание, что \(15\) можно представить как \(3\cdot 5\). Вряд ли это простое совпадение. Используя свойства степеней разложим \(15\) на множители.

\(3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\cos⁡x} = 3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\sin⁡x}\)

 

Перенесем выражение из правой части в левую.

\(3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\cos⁡x} - 3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\sin⁡x}=0\)

 

Вынесем за скобки \(3^{\cos⁡x}\).

\(3^{\cos⁡x}(5^{\cos⁡x} -5^{\sin⁡x})=0\)

Решаем методом расщепления.

\(3^{\cos⁡x} =0\)     или       \(5^{\cos⁡x} -5^{\sin⁡x} =0\)



В какую степень надо возвести тройку, чтоб она стала нулем? Ни в какую, положительное число в любой степени останется положительным числом. Поэтому у первого уравнения нет решения.
Во втором уравнении перенесем \(5^{\sin⁡x}\) вправо.

нет корней             \(5^{\cos⁡x}=5^{\sin⁡x}\)

Имеем показательное уравнение. Решаем его как обычно - «убираем» основания степеней.

                                  \(\cos⁡x=\sin⁡x\)

Делим уравнение на \(\sin⁡x\). Это можно сделать т.к. \(\sin⁡x=0\) не будет решением уравнения. Значит синус икс – не ноль, и поэтому на него можно делить.

                                  \(сtg x=1\)

Решаем базовое тригонометрическое уравнение.

                                \( x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πk\),     \(k∈Z\).


Ответ: \( x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πk\),     \(k∈Z\).


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*