Формулы приведения. Примеры из ЕГЭ

Как вы, наверное, уже обратили внимание, формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac{\pi}{2}+a\), \(\frac{\pi}{2}-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac{3\pi}{2}+a\), \(\frac{3\pi}{2}-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\).
К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Содержание:

• Как быстро получить любую формулу приведения
• Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
• Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?
• Примеры из ЕГЭ с формулами приведения
• Как доказать формулу приведения

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» - это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция:                Кофункция:
\(sin⁡\) \(a\)          \(→\)            \(cos⁡\) \(a\)
\(cos⁡\) \(a\)          \(→\)             \(sin⁡\) \(a\)
\(tg⁡\) \(a\)            \(→\)            \(ctg\) \(a\)
\(ctg⁡\) \(a\)          \(→\)             \(tg\) \(a\)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее. 

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
- как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
- как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Например, выводим формулу приведения для \(⁡cos⁡(\frac{3\pi}{2}-a) =....\) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac{3\pi}{2}-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac{3\pi}{2}\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac{3\pi}{2}-a)=-...\)

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

То есть, при аргументах исходной функции \(\frac{\pi}{2}+a\), \(\frac{\pi}{2}-a\), \(\frac{3\pi}{2}+a\) или \(\frac{\pi}{2}-a\), мы должны поменять функцию, а при аргументах \(π+a\), \(π-a\), \(2π+a\) или \(2π-a\) - нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие \(\frac{\pi}{2}\) \((90^°)\) и \(\frac{3\pi}{2}\) \((270^°)\), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Точки же, обозначающие \(π\) (\(180^°\)) и \(2π\) (\(360^°\)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

 

Эти «да» и «нет» - и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше \(\cos⁡(\frac{3π}{2}-a)=...\) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, \(\cos⁡(\frac{3π}{2}-a)=-\sin⁡\) \(a\). Это и есть верная формула приведения.

Примеры из ЕГЭ с формулами приведения:

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac{18 \cos {⁡{41}^°} }{\sin⁡ {{49}^°}}\)

Решение:

\(\frac{18 \cos {{⁡41}^°} }{\sin⁡{{49}^°}}=\)	Углы \({41}^°\) и \({49}^°\) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ. Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: \(49^°=90^°-41^°\). Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).
\(=\frac{18 \cos {⁡41^° }}{\sin⁡ {({90}^°-{41}^°)}}=\)	Теперь применим к синусу формулу приведения: \(90^°-41^°\) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс; \(90^°\)- находится на «вертикали» - функция меняется на кофункцию. \(\sin⁡{(90^°-41^°)}=\cos⁡ 41^° \)
\(=\frac{18 \cos {⁡41^° }}{\cos⁡ {{41}^°}}=\)	В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.
\(= 18\)	Записываем ответ

Ответ:  \(18\).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac{5\,tg⁡\,163^°}{tg⁡\,17^°}\)

Решение:

\(\frac{5\, tg⁡\,163^°}{tg⁡\,17^°}=\)		Опять замечаем интересное «совпадение»: \(163^°=180^°-17^°\). Поэтому можно заменить \(163^°\) на \(180^°-17^°\).
\(=\frac{5\,tg⁡\,(180^°-17^°)}{tg⁡\,17^°}=\)		Воспользуемся формулой приведения: \((180^°-17^°)\) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус; \(180^°\) - находится на «горизонтали» - функция остается прежней. Значит, \(tg⁡\,(180^°-17^°)=-tg⁡\,17^°\).
\(=-\frac{5\,tg⁡\,17^°}{tg⁡\,17^°}\)\(=-5\)

Ответ:  \(-5\).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(-19\,tg\,101^°\cdot tg\,191^°\)

Решение:

\(-19\,tg\,101^°\cdot tg \,91^°=\)		\(101^°=90^°+11^°\); \(191^°=180^°+11^°\).
\(=-19\,tg\,(90^°+11^° )\cdot tg\, (180^°+11^° )=\)		Применим формулы приведения: \((90^°+11^°)\) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус; \(90^°\)- находится на «вертикали» - функция меняется. Значит, \(tg⁡\,(90^°+11^°)=-ctg⁡\,11^°\). \((180^°+11^°)\) – это третья четверть, тангенс в ней положителен. Значит, знак будет плюс; \(180^°\) - находится на «горизонтали» - функция остается прежней. Значит, \(tg⁡\,(180^°+11^°)=tg⁡\,11^°\).
\(=19\,ctg\,11^°\cdot tg\,11^°=\)		Вот тут можно применить одну из формул связи.
\(=19\).

Ответ:  \(19\).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить: \(\frac{-12}{sin^2⁡{131}^° + sin^2⁡{221}^°}\).

Решение:

\(\frac{-12}{sin^2⁡{131}^° + sin^2⁡{221}^°}\)		\(131^°=90^°+41^°\); \(221^°=180^°+41^°\).
\(\frac{-12}{sin^2⁡(90^°+41^°)+ sin^2⁡(180^°+41^°)}\)		\(sin^2⁡(90^°+41^°):\) \((90^°+41^°)\) – \(90^°\) на вертикали, синус меняется на косинус; Знак синуса не важен, так как он все равно в квадрате. \(sin^2⁡(180^°+41^° ):\) \((180^°+41^°)\) – \(180^°\) на горизонтальной оси, синус остается синусом.
\(\frac{-12}{cos^2⁡{41^°} + sin^2⁡{41^°}}\)		Очевидно, что в знаменателе можно применить основное тригонометрическое тождество.
\(=\frac{-12}{1}=-12\).

Ответ:  \(-12\).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите \(26\, cos⁡(\frac{3π}{2}+α)\), если \(cos⁡α=\frac{12}{13}\) и \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\).

Решение:

Очевидно, что к исходному выражению можно применить формулу приведения \(26\,cos⁡(\frac{3π}{2}+α)=26\,sin⁡α\). Задача свелась к нахождению синуса по косинусу, много похожих заданий было разобрано в статье «формулы связи».

\(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1\)
\(sin^2⁡α+(\frac{12}{13})^2=1\)
\(sin^2⁡α+\frac{144}{169}=1\)
\(sin^2⁡α=1-\frac{144}{169}\)
\(sin^2⁡α=\frac{169-144}{169}\)
\(sin^2⁡α=\frac{25}{169}\)
\(sin⁡\,α=±\frac{5}{13}\)

С учетом того, что \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\), то есть в четвертой четверти, \(sin\,⁡α=-\frac{5}{13}\).

\(26\,cos⁡(\frac{3π}{2}+α)=26\,sin⁡α=26\cdot (-\frac{5}{13})=-\frac{26\cdot 5}{13}=-2\cdot 5=-10\).

Ответ:  \(-10\).

Ну и последний пример – с очень важным выводом после него.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить, чему равен \(ctg(-a-\frac{7π}{2})\), если \(tg⁡\,a=2\).

Решение:

\(ctg(-a-\frac{7π}{2})=\)		Прежде чем применять формулу приведения, приведем аргумент функции к стандартному (одному из указанных в начале статьи). Давайте поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки – для того, чтобы a стояла после «точки привязки».
\(= ctg(-\frac{7π}{2}-a) =\)		Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.
\(= ctg(-(\frac{7π}{2}+a)) =\)		Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть \(ctg\,(-t)=- ctg\,t\). Преобразовываем наше выражение.
\(=- ctg(\frac{7π}{2}+a) =\)		Теперь преобразуем \(\frac{7π}{2}\) следующим образом: \(\frac{7π}{2}=\frac{4π+3π}{2}=2π+\frac{3π}{2}\).
\(=- ctg(2π+\frac{3π}{2}+a) =\)		Но ведь \(2π\) – это просто полный оборот по кругу, он не оказывает никакого влияния на значение функции: \(ctg\,(2π+x)=ctg(x)\). Так что, его можно просто отбросить.
\(=- ctg(\frac{3π}{2}+a) =\)		Вот теперь применяем формулу приведения. \((\frac{3π}{2}+a)\) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» - вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем \(ctg(\frac{3π}{2}+a)=-tg\,a\).
\(= - (- tg\,a) = tg\,a = 2\)		Готов ответ.

Ответ:  \(2\).

Важное замечание! На самом деле преобразовывать функцию по формулам приведения можно было сразу после получения \(ctg(-\frac{7π}{2}-a)\), не делая все последующие преобразования.
Действительно:
\((-\frac{7π}{2}-a)\) – это первая четверть, там котангенс положителен.
«Точка привязки» - вертикальная, то есть функцию меняем.
Таким образом, можно сразу получить, что \(ctg\,(-\frac{7π}{2}-a)=tg\,a\).

Вывод:

Но обратите внимание – они никогда не могут быть \(-\frac{π}{3}\),\(\frac{5π}{6}\),\(\frac{17π}{4}\) и т.д. – потому что эти точки не лежат на пересечении с осями. Давайте, вместе выясним почему это так.

Как доказать формулу приведения, или почему «точки привязки» обязательно должны быть точками пересечения с осями

Возьмем какую-либо формулу приведения – например, вот эту \(\sin⁡(\frac{π}{2}+a)=\cos⁡a\) – и попробуем получить из левой части правую.
Что у нас слева? Синус суммы аргументов.
У нас на этот случай есть формула: \(\sin⁡(x+y)=\sin⁡x \cos⁡y+\sin⁡y \cos⁡x\)
Применим ее: \(\sin⁡(\frac{π}{2}+a)=\sin⁡\frac{π}{2}\cos⁡a+\sin⁡a \cos⁡\frac{π}{2}\)
Мы знаем, что \(\sin⁡\frac{π}{2}=1, а \cos⁡\frac{π}{2}=0\). Таким образом имеем окончательную цепочку преобразований:

\(\sin⁡(\frac{π}{2}+a)=\sin⁡\frac{π}{2}\cos⁡a+\sin⁡a \cos⁡\frac{π}{2}=1·\cos⁡a+\sin⁡a·0=\cos⁡a\)

Получилось!

Попробуем еще. Возьмем вот эту формулу: \(\cos⁡(π-a)=-\cos⁡a\)
Преобразовываем с помощью формулы разности в косинусе:

\(\cos⁡(π-a)=\cos⁡π \cos⁡a+\sin⁡a \sin⁡π=-1·\cos⁡a+\sin⁡a·0=-\cos⁡a\)

Опять всё верно.

Ну и еще одну: \(\cos⁡(\frac{3π}{2}+a)=\sin⁡a\)
Преобразовываем с помощью формулы суммы в косинусе:

\(\cos⁡(\frac{3π}{2}+a)=\cos⁡\frac{3π}{2}\cos⁡a-\sin⁡a \sin⁡\frac{3π}{2}=0·\cos⁡a-\sin⁡a·(-1)=\sin⁡a\)

Сошлось.

А теперь присмотритесь к преобразованиям. Замечаете что-нибудь общее?
Да, всё верно - во всех случаях у нас одна из функций превращается в \(1\) или \(-1\), а вторая в \(0\). И именно благодаря этому - итоговое выражение становится проще!

А теперь давайте попробуем взять в качестве «точки привязки» не точку пересечения с осями, а какую-нибудь другую, например, \(\frac{π}{3}\):

\(\cos⁡(\frac{π}{3}-a)=\cos⁡\frac{π}{3}\cos⁡a+\sin⁡a \sin⁡\frac{π}{3}=\frac{1}{2}·\cos⁡a+\sin⁡a·\frac{\sqrt{3}}{2}=\)\(\frac{\cos⁡a+\sqrt{3}\sin⁡a}{2}\)

Мда… Что-то такое себе упрощение получилось…

Понимаете теперь?

«Точки привязки» должны быть точками пересечения с осями, потому что только в этом случае получаются более простые выражения. Так происходит потому, что в точках пересечения круга с осями всегда одна из функций (синус или косинус) равна нулю, а вторая плюс или минус единице. Для всех остальных точек – это не работает.

Смотрите также:
Формулы тригонометрии с примерами
Как доказать тригонометрическое тождество?