Формулы связи тригонометрических функций. Примеры из ЕГЭ

Внимание! Эти формулы работают только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.

\(sin^2⁡ 776^° +cos^2⁡ 776^° =1\)
\(tg\, 3x\cdot ctg\, 3x=1\)

Но:

\(sin^2⁡x+cos^2⁡3x≠1\)
\(tg\, x\cdot ctg\, y≠1\)

Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями (подробности в этих видео). Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.

Примеры применения формул связи

Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения, заменяя одну функцию другой и так далее.

Пример. Найдите \(5sin⁡\,α\), если \(cos\,⁡α=\frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\). 
Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

\(sin^2α+cos^2⁡α=1\).

Подставим вместо косинуса его значение:

\(sin^2⁡α+\)\((\frac{2\sqrt{6}}{5})\)\(^2=1\)
\(sin^2⁡α+\)\(\frac{4\cdot 6}{25}\)\(=1\)
\(sin^2⁡α+\)\(\frac{24}{25}\)\(=1\)
\(sin^2⁡α=1-\)\(\frac{24}{25}\)
\(sin^2⁡α=\)\(\frac{1}{25}\)
\(sin⁡α=±\)\(\frac{1}{5}\)

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида \(x^2=a\) (при \(a>0\)) два корня \(x_1=\sqrt{a}\)  и \(x_2=-\sqrt{a}\). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение \(\frac{1}{5}\), а может \(-\)\(\frac{1}{5}\). И какое значение нам надо выбрать - с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок \((\frac{3π}{2};2π)\).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае \(sin\,⁡α=-\frac{1}{5}\) т.е. \(5sin\,⁡α=5\cdot(-\frac{1}{5})=-1\).

Ответ: \(-1\).

Пример.Найдите \(tg\,α\), если \(cos\,⁡α=\)\(\frac{\sqrt{10}}{10}\) и \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\). 
Решение. Есть 2 пути решения этой задачи:

- напрямую вычислить тангенс через формулу \(tg^2α+1=\)\(\frac{1}{cos^2⁡α}\);
- сначала с помощью тождества \(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1\) найти \(sin⁡\,α\), а потом через формулу \(tg\,α=\)\(\frac{sin⁡\,α}{cos⁡\,α}\) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Вычисляем синус:

\(sin^2⁡α+\)\((\frac{\sqrt{10}}{10})^2\)\(=1\)
\(sin^2⁡α+\)\(\frac{10}{100}\)\(=1\)
\(sin^2⁡α+\)\(\frac{1}{10}\)\(=1\)
\(sin^2⁡α=1-\)\(\frac{1}{10}\)
\(sin^2⁡α=\)\(\frac{9}{10}\);
\(sin⁡\,α=±\)\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)

Опять \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\), значит в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, \(sin⁡\,α=-\)\(\frac{3}{\sqrt{10}}\).
А теперь вычисляем тангенс: \(tg\,α=-\)\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)\(:\)\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)\(=\)\(-\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot\frac{10}{\sqrt{10}}\)\(=-\)\(\frac{30}{10}\)\(=-3\).

Ответ: \(-3\).

Пример. Известно, что \(tg\,α=-\frac{3}{4}\) и \(\frac{π}{2}<α<π\). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла \(α\).
Решение. Проще всего из тангенса найти котангенс:

\(ctg\, α=\)\(\frac{1}{tg\, α}\)
\(ctg\,α=1:(-\frac{3}{4})=1\cdot(-\frac{4}{3})=-\frac{4}{3}\).

Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:

\(tg^2 α+1=\)\(\frac{1}{cos^2⁡α}\)
\((-\)\(\frac{3}{4})\)\(^2+1=\)\(\frac{1}{cos^2⁡α}\)
\(\frac{9}{16}\)\(+1=\)\(\frac{1}{cos^2⁡α}\)
\(\frac{9+16}{16}\)\(=\)\(\frac{1}{cos^2⁡α}\)
\(\frac{25}{16}\)\(=\)\(\frac{1}{cos^2⁡α}\)
\(cos^2⁡α=\)\(\frac{16}{25}\)
\(cos⁡α=±\)\(\frac{4}{5}\)

Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок \((\frac{π}{2};π)\) на тригонометрической окружности и посмотрим какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.

Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит \(cos\,⁡α=-\)\(\frac{4}{5}\).

Осталось найти синус:

\(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1\)
\(sin^2⁡α+(-\)\(\frac{4}{5}\)\()^2=1\)
\(sin^2⁡α+\)\(\frac{16}{25}\)\(=1\)
\(sin^2⁡α=1-\)\(\frac{16}{25}\)
\(sin^2⁡α=\)\(\frac{9}{25}\)
\(sin\,⁡α=±\)\(\frac{3}{5}\)

Опять используем круг, чтобы определить знак.

Получается, что \(sin\,⁡α=\)\(\frac{3}{5}\).

Ответ: \(ctg\,α=-\)\(\frac{4}{3}\);   \(cos\,⁡α=-\)\(\frac{4}{5}\);    \(sin\,α=\)\(\frac{3}{5}\).

Пример (ЕГЭ). Найдите \(tg^2 α\), если \(5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\).
Решение. Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве \(5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\) синус заменим на косинус:

\(5(1-cos^2⁡α)+13 cos^2⁡α=6\)
\(5-5 cos^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\)
\(5+8 cos^2⁡α=6\)
\(8 cos^2⁡α=1\)
\(cos^2⁡α=\)\(\frac{1}{8}\)

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения \(tg^2α\) хорошо подходит формула \(tg^2α+1=\)\(\frac{1}{cos^2⁡α}\) :

\(tg^2 α+1=1:\)\(\frac{1}{8}\)
\(tg^2 α+1=1\cdot\)\(\frac{8}{1}\)
\(tg^2 α+1=8\)
\(tg^2 α=7\)

Ответ: \(7\).

Теперь еще одна задача из ЕГЭ, для наглядности мы ее решение оформили картинкой.

Пример. Упростите выражение \(\frac{1}{sin^2 α}\)\(-ctg^2 α-cos^2 β\).
Решение.

\(\frac{1}{sin^2 α}\)\(-ctg^2 α-cos^2 β\)		Самое очевидное, что можно сделать – это представить котангенс как отношение косинуса к синусу.
\(=\)\(\frac{1}{sin^2 α}\)\(-\)\(\frac{cos^2⁡α}{sin^2 α}\)\(-cos^2 β=\)		Приводим дроби к общему знаменателю.
\(=\)\(\frac{1-cos^2⁡α}{sin^2 α}\)\(-cos^2 β=\)		\(1-cos^2⁡α\) можно заменить на \(sin^2 α\).
\(=\)\(\frac{sin^2 α}{sin^2 α}\)\(-cos^2 β=\)		Сокращаем синусы.
\(=1-cos^2 β=sin^2 β\).

Пример. Докажите тождество \(\frac{cos^4⁡α-sin^4⁡α}{(1-sin⁡α)(1+sin⁡α)}\)\(+2tg^2 α=\)\(\frac{1}{cos^2 α}\).
Решение.

\(\frac{cos^4⁡α-sin^4⁡α}{(1-sin⁡α)(1+sin⁡α)}\)\(+2tg^2 α=\)\(\frac{1}{cos^2 α}\)		Чтобы доказать это тождество, будем преобразовывать левую часть, пытаясь свести ее к правой. Поехали. Разложим числитель левой дроби по формуле разности квадратов, а знаменатель, наоборот, соберем по ней же.
\(\frac{(cos^2⁡α-sin^2⁡α )(cos^2 α+sin^2⁡α)}{1-sin^2⁡α}\)\(+2tg^2 α=\)\(\frac{1}{cos^2 α}\)		Очевидно, что вторая скобка числителя равна \(1\) (по основному тригонометрическому тождеству), а знаменатель можно заменить на \(cos^2 α\).
\(\frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α}{cos^2 α}\)\(+2tg^2 α=\)\(\frac{1}{cos^2 α}\)		Теперь разложим тангенс по формуле \(tg\, α=\)\(\frac{sin⁡\,α}{cos\,⁡α}\).
\(\frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α}{cos^2 α}\)\(+2\)\(\frac{sin^2⁡α}{cos^2⁡α}\)\(=\)\(\frac{1}{cos^2 α}\)		Приводим дроби к общему знаменателю.
\(\frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α+2 sin^2⁡α}{cos^2 α}\)\(=\)\(\frac{1}{cos^2 α}\)		Приводим подобные слагаемые.
\(\frac{cos^2⁡α+sin^2⁡α}{cos^2 α}\)\(=\)\(\frac{1}{cos^2 α}\)		И вновь нас выручает основное тригонометрическое тождество
\(\frac{1}{cos^2 α}\) \(=\)\(\frac{1}{cos^2 α}\)

Левая часть полностью идентична правой, то есть тождество доказано.

Как доказать все формулы связи