cos2a, sin2a. Формулы двойного угла. Примеры на ЕГЭ

Примеры: 

\(2 \sin⁡15^° \cos⁡15^°=\sin⁡(2·15^°)=\sin⁡30^° =\frac{1}{2}\)
\(\cos⁡6α=\cos^2⁡3α-\sin^2⁡3α\)
\(\sin⁡α=2 \sin⁡\frac{α}{2}\cos⁡\frac{α}{2}\)
\(2 \cos^2⁡\frac{π}{12}-1=\cos⁡\frac{2π}{12}=\cos⁡\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Примеры решения задач из ЕГЭ на формулы двойного угла

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(\frac{12 \sin⁡11^° \cdot\, \cos⁡11^°}{\sin ⁡22^° }\).
Решение. \(\frac{12 \sin⁡11^° \cdot\, \cos⁡11^°}{\sin⁡22^°}\)\(=\)\(\frac{12 \sin⁡11^° \cdot\,\cos⁡11^°}{2 \sin⁡11^° \cdot\, \cos⁡11^° }\)\(=\)\(\frac{12}{2}\)\(=6\).

Пример (ЕГЭ).

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(\sqrt{3}\cos^2\frac{5π}{12}-\sqrt{3}\sin^2\frac{5π}{12}\).
Решение. \(\sqrt{3}\cos^2\frac{5π}{12}-\sqrt{3}\sin^2\frac{5π}{12}=\sqrt{3}(\cos^2\frac{5π}{12}-\sin^2\frac{5π}{12})=\sqrt{3}\cos(2\cdot\frac{5π}{12})=\sqrt{3}\cos\frac{5π}{6}\)

Вычислим \(\cos⁡\frac{5π}{6}\) с помощью тригонометрического круга. Сначала найдем \(\frac{5π}{6}\) на круге:

\(\frac{5π}{6}=\frac{6π-π}{6}=π-\frac{π}{6}\)

Теперь видно, что \(\cos⁡\frac{5π}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sqrt{3}\cos⁡ \frac{5π}{6}=\sqrt{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3}{2}=-1,5\).

Пример (ЕГЭ).

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(\frac{24(\sin^2 17^°- \cos^2⁡ 17^°)}{\cos⁡34^°}\).
Решение. \(\frac{24(\sin^2 17^°- \cos^2⁡ 17^°)}{\cos⁡34^°}\)\(=\)\(\frac{-24(\cos^2⁡ 17^°- \sin^2 17^° )}{\cos⁡34^°}\)\(=\)\(\frac{-24 \cos⁡2\cdot 17^°}{\cos⁡34^° }\) \(=\)\(\frac{-24 \cos⁡34^° }{\cos⁡34^° }\)\(=-24\).

Пример (ЕГЭ).

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(5\sin\frac{11π}{12}\cos⁡\frac{11π}{12}\).
Решение. \(5 \sin\frac{⁡11π}{12}\cos⁡\frac{11π}{12}=\frac{5}{2}\cdot2\sin⁡\frac{11π}{12}\cos⁡\frac{11π}{12}=\frac{5}{2}\sin\frac{⁡2\cdot 11π}{12}=\frac{5}{2} \sin⁡\frac{11π}{6}=\frac{5}{2}\sin⁡\frac{12π-π}{6}=\frac{5}{2}\sin⁡(\frac{12π}{6}-\frac{π}{6})=\)
\(=\frac{5}{2}\sin⁡(2π-\frac{π}{6})=\frac{5}{2}\sin⁡(-\frac{π}{6})=-\frac{5}{2}\sin⁡\frac{π}{6}=-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{5}{4}=-1,25\).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac{5\sin⁡98^°}{\sin⁡49^° \sin⁡ 41^°}\).

Решение:

\(\frac{5\sin⁡98^°}{\sin⁡49^° \sin⁡ 41^°}\)		Все аргументы разные и что с этим делать не понятно. Однако присмотревшись, замечаем, что \(98^°\)ровно в два раза больше \(49^°\). То есть, имеет смысл разложить синус в числителе по формуле двойного угла.
\(\frac{10\sin⁡49^°\cos49^°}{\sin⁡49^° \sin⁡ 41^°}\)		Одинаковые синусы можно сократить.
\(\frac{10\cos49^°}{\sin⁡ 41^°}\)		Теперь обратите внимание на то, что \(49^°=90^°-41^°\). Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).
\(\frac{10\cos(90^°-41^°)}{\sin⁡ 41^°}\)		Теперь применим к косинусу формулу приведения: \((90^°-41^°)\) – это первая четверть, косинус в ней положителен. Значит, знак будет плюс; \(90^°\)- находится на «вертикали» - функция меняется на кофункцию. \(\cos⁡ (90^°-41^°)=\sin⁡41^°\)
\(=\frac{10 \sin⁡41^° }{\sin⁡41^°}\)\( =10\)

Ответ: \(10\).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\sqrt{12}\cos^2⁡\frac{5π}{12}-\sqrt{3}\).

Решение:

\(\sqrt{12}\cos^2⁡\frac{5π}{12}-\sqrt{3}=\)		С первого взгляда не очевидно, что тут надо делать. Возможно, со второго тоже. И здесь нас выручит золотое правило решения задач по математике: «не знаешь, что делать - делай, что можешь». А тут точно можно преобразовать \(\sqrt{12}\). \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\).
\(=2\sqrt{3}\cos^2⁡\frac{5π}{12}-\sqrt{3}=\)		Теперь можно вынести \(\sqrt{3}\) за скобки.
\(=\sqrt{3}(2 \cos^2⁡\frac{5π}{12}-1)=\)		Вот теперь видно, что перед нами формула косинуса двойного угла.
\(=\sqrt{3}\cos(2\cdot\frac{5π}{12})=\)		Сокращаем \(2\) и \(12\).
\(=\sqrt{3}\cos(\frac{5π}{6})=\)		Разложим \(\frac{5π}{6}\): \(\frac{5π}{6}=\frac{6π-π}{6}=\frac{6π}{6}-\frac{π}{6}=π-\frac{π}{6}\)
\(=\sqrt{3}\cos(π-\frac{π}{6})=\)		Теперь применим к косинусу формулу приведения: \((π-\frac{π}{6})\) – это вторая четверть, косинус в ней отрицателен. Значит, знак будет минус; \(π\) - находится на «горизонтали» - функция не меняется на кофункцию. \(\cos⁡(π-\frac{π}{6})=-\cos \frac{π}{6}\)
\(=-\sqrt{3}\cos⁡\frac{π}{6}=-\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\) \(=-\frac{3}{2}=-1,5.\)

Ответ: \(-1,5\).

Смотрите также:
Формулы тригонометрии с примерами