Формулы половинного угла или понижения степени
Примеры:
\(\sin^24α=\)\(\frac{1-\cos8α}{2}\)
\(\cos^2 15^°=\)\(\frac{1+\cos30^°}{2}\)\(=\)\(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)\(=\)\(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\)
\(\cosx=±\)\(\sqrt{\frac{1+\cos2x}{2}}\)
\(2 \sin^2(x+\frac{π}{4})=2\cdot\frac{1-\cos(2x+\frac{π}{2})}{2}=1+\sin2x\)
Примеры решения задач из ЕГЭ на формулы половинного угла
Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(\sqrt{108} \cos^2\frac{23π}{12}-\sqrt{27}\).
Решение. \(\sqrt{108}\cos^2\frac{23π}{12}-\sqrt{27}=\sqrt{108}\)\( \frac{1+\cos\frac{2\cdot 23π}{12}}{2}\)\(-\sqrt{27}=\sqrt{108}\)\(\frac{1+\cos\frac{23π}{6}}{2}\)\(-\sqrt{27}=\)…
\(\frac{23π}{6}=\frac{24π-π}{6}=\frac{24π}{6}-\frac{π}{6}=4π-\frac{π}{6}\).
Попали в самое большое из трех стандартных значений косинуса: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит \(\cos\frac{23π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
…\(=\sqrt{108}\)\(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)\(-\sqrt{27}=\sqrt{27\cdot 4}\)\(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)\(-\sqrt{27}=2\sqrt{27}\cdot\)\(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)\(-\sqrt{27}=\sqrt{27}(1+\frac{\sqrt{3}}{2})-\sqrt{27}=\)
\(=\sqrt{27}+\frac{\sqrt{27\cdot 3}}{2}-\sqrt{27}=\frac{\sqrt{81}}{2}=\frac{9}{2}=4,5\).
Это решение не самое простое из всех возможных (наиболее легкое приведено в статье «формулы двойного угла»), но до него легче всего догадаться, если знаешь формулу половинного угла.
Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\sqrt{32}-\sqrt{128}\sin^2\frac{7π}{8}\).
Решение:
|
\(\sqrt{32}-\sqrt{128}\sin^2\frac{7π}{8}=\) |
Сразу применим формулу половинного угла для \(\sin^2\frac{7π}{8}\). |
|
|
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{1-\cos\frac{7π}{4}}{2}\)\(=\) |
Вычислим косинус с помощью формулы приведения. Для этого сначала преобразуем \(\frac{7π}{4}\): \(\frac{7π}{4}=\frac{8π-π}{4}=\frac{8π}{4}-\frac{π}{4}=2π-\frac{π}{4}\)
|
|
|
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{1-\cos(2π-\frac{π}{4})}{2}\)\(=\) |
Теперь применим к косинусу формулу приведения:
|
|
|
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{1-\cos\frac{π}{4}}{2}\)\(=\) |
\(\cos\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). |
|
|
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\)\(=\) |
Домножим числитель и знаменатель дроби на \(2\), чтоб избавиться от «трехэтажности». |
|
|
\(=\sqrt{32}-\sqrt{128}\)\(\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)\(=\) |
Игнорировать корни больше невозможно. Вынесем из \(\sqrt{128}\) четверку, чтоб она сократилась со знаменателем: \(\sqrt{128}=\sqrt{16\cdot 8}=4\sqrt{8}\) |
|
|
\(=\sqrt{32}-4\sqrt{8}\)\(\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)\(=\) |
Сократим четверки. |
|
|
\(=\sqrt{32}-\sqrt{8}(2-\sqrt{2})=\) |
Раскроем скобки. |
|
|
\(=\sqrt{32}-2\sqrt{8}+\sqrt{16}=\) |
Занесем \(2\) под корень и вычислим \(\sqrt{16}\). |
|
|
\(=\sqrt{32}-\sqrt{32}+4=4\). |
|
Ответ: \(4\).
Смотрите также:
Формулы тригонометрии с примерами
Хочу задать вопрос