sin(a+b), cos(a+b), sin(a-b), cos(a-b). Формулы сложения в аргументе синуса и косинуса

Примеры:

\(\sin⁡74^° \cos⁡16^°+\sin⁡16^° \cos⁡74^° =\)\(\sin⁡(74^°+16^° )=\sin⁡90^° =1\)
\(\cos⁡\frac{5π}{8}\cos⁡\frac{3π}{8}+\sin⁡\frac{5π}{8}\sin⁡\frac{3π}{8}\)\(=\cos⁡(\frac{5π}{8}-\frac{3π}{8})=\cos⁡\frac{π}{4}\)\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Эти формулы позволяют:

• Вычислять значения тригонометрических функций нестандартных углов

Пример. Вычислите \(\sin⁡15^°\).
Решение. \(\sin⁡15^°=\sin⁡(45^°-30^°)=\)\(\sin⁡45^° \cos⁡30^° -\cos⁡45^° \sin⁡30^° =\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\)\(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\)\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).

• Упрощать выражения

Пример.Упростите выражение \(\cos⁡(\frac{2π}{3}-α)+\cos⁡(\frac{π}{3}+α)\)
Решение. \(\cos⁡(\frac{2π}{3}-α)+\cos⁡(\frac{π}{3}+α)=\)\(\cos⁡\frac{2π}{3} \cos⁡α+\sin⁡\frac{2π}{3}\sin⁡α+\)\(\cos⁡\frac{π}{3}\cos⁡α-\sin⁡\frac{π}{3}\sin⁡α =\)
\(=-\frac{1}{2}\cos⁡α+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin⁡α+\)\(\frac{1}{2}\cos⁡α-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin⁡α=0 \).

• Легко и просто получать формулы двойного угла

Пример. Докажите тождество \(\sin⁡2x=2 \sin⁡x \cos⁡x\).
Решение. \(\sin⁡2x=\sin⁡(x+x)=\)\(\sin⁡x \cos⁡x+\cos⁡x \sin⁡x=2 \sin⁡x \cos⁡x\).

Пример. Докажите тождество \(\cos⁡2x=\cos^2⁡x-\sin^2⁡x\).
Решение. \(\cos⁡2x=\cos⁡(x+x)=\)\(\cos⁡x \cos⁡x-\sin⁡x \sin⁡x=\cos^2⁡x-\sin^2⁡x\).

• И даже формулы приведения:

Пример. Докажите тождества:
а) \(\sin⁡(π-x)=\sin⁡x\);
б) \(\cos(π+x)=-\cos⁡x\);
в) \(\cos⁡(\frac{3π}{2}-x)=-\sin⁡x\).
Решение.
а) \(\sin⁡(π-x)=\sin⁡π \cos⁡x-\cos⁡π \sin⁡x\)\(=0\cdot\cos⁡x+1\cdot\sin⁡x=\sin⁡x\);
б) \(\cos(π+x)=\cos⁡π \cos⁡x-\sin⁡π \sin⁡x\)\(=-1\cdot\cos⁡x-0\cdot\sin⁡x=-\cos⁡x\);
в) \(\sin⁡(\frac{π}{2}+x)\)\(=\sin⁡\frac{π}{2}\cos⁡x+\cos⁡\frac{π}{2}\sin⁡x\)\(=1\cdot\cos⁡x+0\cdot\sin⁡x=\cos⁡x\).

Как запомнить формулы сложения

Как видите, формулы сложения достаточно полезны и их стоило бы хорошенько выучить. Однако с этим часто возникают трудности, т.к. они похожи и сложно запомнить их точно.

Тут мы дадим вам несколько подсказок и придуманное нами мнемоническое правило, благодаря которому вы через пять минут напишите все формулы верно, ничего не заучивая. Не верите? Давайте проверим!

Для начала подсказки:
- во-первых, заметьте, что структура всех формул одинакова: слева синус/косинус суммы или разности, а справа - произведение двух функций плюс/минус произведение двух функций:

[исходная функция]\(=\)[функция1]·[функция2] \(±\) [функция3]·[функция4]

- во-вторых, обратите внимание, что в каждой формуле все функции справа – разные. У нас есть две функции (\(sin\)⁡ и \(cos\)⁡) и два аргумента (\(x\) и \(y\), и из всего этого богатства получается четыре варианта:

\(\sin⁡x\)            \(\sin⁡y\)
\(\cos⁡x\)           \(\cos⁡y\)

Вот их мы и будем расставлять в окошки справа.
Тут же заметим, что у функций, стоящих в паре, всегда разные аргументы: \(x\) и \(y\).

- в-третьих, отметьте, что начало правой части формулы всегда такое же как начало левой части:

\(\sin\)⁡(\(x\)\(+y)=\)\(\sin⁡x\) \(\cos⁡y+\sin⁡y \cos⁡x\)
\(\sin\)(\(x\)\(-y)=\)\(\sin⁡x\) \(\cos⁡y-\sin⁡y \cos⁡x\)
\(\cos\)⁡(\(x\)\(+y)=\)\(\cos⁡x\) \(\cos⁡y-\sin⁡x \sin⁡y\)
\(\cos\)⁡(\(x\)\(-y)=\)\(\cos⁡x\) \(\cos⁡y+\sin⁡x \sin⁡y\)

То есть, уже на данном этапе вы можете часть формулы сходу написать: нужен вам, например, косинус суммы – вы сразу пишете

\(\cos⁡(x+y)\)\(=\)\(\cos⁡x\)·[функция2] \(±\) [функция3]·[функция4]

И осталось только определить, что будет стоять вместо знака вопроса (плюс или минус) да расставить в окошки оставшиеся три функции: \(\sin⁡x\), \(\sin⁡y\) и \(\cos⁡y\). Вот тут-то нам и приходит на помощь мнемоническое правило.

И осталось только определить, что будет стоять вместо знака вопроса (плюс или минус) да расставить в окошки оставшиеся три функции: \(\sin⁡x\), \(\sin⁡y\) и \(\cos⁡y\). Вот тут-то нам и приходит на помощь мнемоническое правило.

Звучит оно следующим образом: «косинусы закомплексованы и всё у них наперекосяк». Фраза дурацкая, странная и созвучная: «косинус-комплекс-косяк», поэтому сама по себе запоминается легко, а означает она следующее:

- косинусы закомплексованы: поэтому, когда мы пишем формулу для сумму или разности косинусов, справа косинусы «общаются» (в смысле, стоят рядом) только с косинусами. Соответственно, синусам остается «общаться» только с синусам. Таким образом, в получаемой нами формуле имеем:

\(\cos⁡(x+y)=\cos⁡x·\cos⁡y\, ?\, \sin⁡x·\sin⁡y\)

- всё у них наперекосяк: то есть, у формул косинуса знак слева и справа – разный. В нашем случае слева плюс, значит справа ставим минус:

\(\cos⁡(x+y)=\cos⁡x·\cos⁡y - \sin⁡x·\sin⁡y\)

Готово.

Давайте для отработки получим формулу разности в синусе (со всеми рассуждениями):

- нам нужен \(\sin⁡(x-y)\), значит первая функция справа - \(\sin⁡x\):

\(\sin⁡(x-y)=\sin x\)·[функция2] \(±\) [функция3]·[функция4]

- закомплексованы у нас косинусы, но мы-то пишем формулу для синуса, а они вполне себе «общительные» – значит рядом с синусом будет стоят косинус, причем с другим аргументом (игреком):

\(\sin⁡(x-y)=\sin⁡x·\cos⁡y \,?\,   \cos⁡x·\sin⁡y\)

- наперекосяк всё в жизни у косинусов, а у синусов всё стабильно, так что знак сохраняется:

\(\sin⁡(x-y)=\sin⁡x·\cos⁡y - \cos⁡x·\sin⁡y\)

Есть.

Теперь попробуйте сами – еще раз просмотрите основные моменты статьи, а потом возьмите чистый лист и, никуда не подглядывая, напишите все формулы.
Ну как, получилось?