sin(-a),cos(-a),tg(-a),ctg(-a). Минус в аргументе синуса, косинуса

Примеры: 

\(sin⁡(-π)=-sin\,⁡π\)
\(cos⁡(-225^° )=cos⁡\, 225^°\)
\(tg(-\frac{π}{2}-x)=-tg(\frac{π}{2}+x)\)

И сразу два важных замечания.

Замечание №1

Многие ученики думают, что если можно вынести минус из тригонометрической функции, то можно вынести и число, но это не так:

\(sin⁡\,2x≠2 sin\,⁡x\)
\(cos⁡\,3x≠3cos\,⁡x\)
\(tg\,4x≠4tg\,x\)

Замечание №2

\(sin^2⁡(-x)=sin^2⁡x\)
\(cos^2⁡(-x)=cos^2⁡x\)
\(tg^2 (-x)=tg^2 x\)
\(ctg^2 (-x)=ctg^2 x\)

Квадрат меняет ситуацию. Всё дело в том, что \(sin^2⁡(-x)=(sin⁡(-x) )^2=(-sin\,⁡x )^2=sin^2⁡x\), т.е. минус все равно выносится, но так как синуса два и они перемножаются, то в итоге получается плюс.

Примеры из ЕГЭ

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(24\sqrt{2}\,cos⁡(-\frac{π}{3})\,sin⁡(-\frac{π}{4})\).
Решение. \(24\sqrt{2}\,cos⁡(-\frac{π}{3})\,sin⁡(-\frac{π}{4})=-24\sqrt{2}\,cos⁡\frac{π}{3}\,sin⁡\frac{π}{4}\).

Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) принимает наименьшее т.е. \(cos\,⁡\frac{π}{3}=\frac{1}{2}\). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. \(sin⁡\,\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Получается:

\(-24\sqrt{2}\,cos⁡\frac{π}{3}\,sin⁡\frac{π}{4}=-24\sqrt{2}\cdot\)\(\frac{1}{2}\)\(\cdot\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(=\)\(\frac{-24\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{4}\)\(=\)\(\frac{-24\cdot 2}{4}\)\(=-6\cdot2=-12\)

Ответ: \(-12\).

Если вы не поняли почему \(\frac{π}{3}\) и \(\frac{π}{4}\) находятся на круге там, где мы из обозначили, то читайте статью «Как обозначать числа с пи на числовой окружности?». А если не поняли, как мы нашли синус и косинус, то читайте статью «Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы».

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(44\sqrt{3}\,tg\,(-480^° )\).
Решение. \(44\sqrt{3}\,tg(-480^° )=-44\sqrt{3}\,tg(480^° )=-44\sqrt{3}\,tg(360^°+120^° )=-44\sqrt{3}\,tg(360^°+90^°+30^°)\).

Находим \(480^°\) на окружности:

Соединяем точку, соответствующую \(480^°\) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:

Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса.
Значит, \(tg(480^° )=-\sqrt{3}\).
В итоге имеем: \(44\sqrt{3} tg(-480^° )=-44\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=44\cdot 3=132\).
Ответ: \(132\).

Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью «Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы?».

Доказательства формул с минусом в аргументе: