Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой \(d\).


Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):

Пример арифметической прогрессии

В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими.

Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например, в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.

убывающая арифметическая прогрессия

И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими.




Обозначение арифметической прогрессии

Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.

Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).

Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.

Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)

порядковый номер элемента \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
обозначение элемента \(a_1\) \(a_2\) \(a_3\) \(a_4\) \(a_5\)
значение элемента \(2\) \(5\) \(8\) \(11\) \(14\)



Решение задач на арифметическую прогрессию

В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:

начало арифметической прогрессии

В этой задаче нам дано начало цепочки (первый элемент) и шаг (разность). Зная их, мы легко можем восстановить прогрессию до любого нужного нам члена (в нашем случае – пятого).

найдите 5 член прогрессии

Вот и все. Нужное нам значение найдено.

Ответ:   \(b_5=23\)



Пример (ОГЭ). Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:

Найдите значение первого отрицательного члена прогрессии

Нам даны первые элементы последовательности и известно, что она – арифметическая прогрессия. То есть, каждый элемент отличается от соседнего на одно и то же число. Узнаем на какое, вычтя из следующего элемента предыдущий: \(d=49-62=-13\).

нахождение разности прогрессии

Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до нужного нам (первого отрицательного) элемента.

находим первый отрицательный член прогрессии

Готово. Можно писать ответ.

Ответ:   \(-3\)



Пример (ОГЭ). Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:

найдите элемент прогрессии

Чтоб найти \(x\), нам нужно знать на сколько следующий элемент отличается от предыдущего, иначе говоря – разность прогрессии. Найдем ее из двух известных соседних элементов: \(d=12,5-10=2,5\).

находим разность прогрессии 

А сейчас без проблем находим искомое: \(x=5+2,5=7,5\).

находим элемент прогрессии

Готово. Можно писать ответ.

Ответ:   \(7,5\).



Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

найдите сумму первых шести членов прогрессии

Находим элементы прогрессии

Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значений, нам дан только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам рекуррентное соотношение:

\(n=1\);   \(a_{1+1}=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\);   \(a_{2+1}=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\);   \(a_{3+1}=a_3+5=-1+5=4\)
А вычислив нужные нам шесть элементов - находим их сумму.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Искомая сумма найдена.

Ответ:   \(S_6=9\).



Пример (ОГЭ).В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\);   \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:

Построим цепочку из элементов


Мы знаем \(12\)-ый и \(16\)-ый элементы – и больше ничего. Однако этого достаточно для того, чтобы найти разность. Нужно просто посмотреть на схему слева и понять, что мы можем получить \(16\)-ый элемент из \(12\)-го, «сделав 4 шага», то есть четыре раза прибавив разность прогрессии. Иными словами: \(a_{12}+d+d+d+d=a_{16}\).

\(a_{12}+4d=a_{16}\)

Подставляем известные величины.

\(23+4d=51\)

Теперь решаем линейное уравнение, и без проблем находим \(d\). Переносим \(23\), поменяв знак.

\(4d=51-23\)

Вычисляем правую часть…

\(4d=28\)

…и делим на коэффициент перед неизвестной.

\(d=7\)

Готов ответ.

Ответ:   \(d=7\).




Важные формулы арифметической прогрессии

Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).

Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…

Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\),  где   \(a_1\) – первый член прогрессии;
                                                                                \(n\) – номер искомого элемента;
                                                                                \(d\) – разность прогрессии;  
                                                                                \(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).


Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.

Пример. Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:

\(b_1=-159\); \(d=8,2\)
\(b_{246}=?\)

Больше двухсот раз прибавлять \(8,2\) к \(-159\) – перспектива не самая радужная. Лучше воспользуемся формулой, подставив вместо \(n\) номер искомого элемента.

\(n=246\); \(b_{246}=-159+(246-1)·8,2=\)
\(=-159+245·8,2=\)
\(=-159+2009=1850\)




Можно писать ответ.

Ответ:   \(b_{246}=1850\).



Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где 

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(a_n\) – последний суммируемый член;  
\(n\) – количество элементов в сумме.


Пример (ОГЭ).Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:

\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2 }\)\(\cdot 25\)

Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена.
Наша прогрессия задана формулой энного члена в зависимости от его номера (подробнее смотри здесь). Давайте вычислим первый элемент, подставив вместо \(n\) единицу.

\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)

Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо \(n\) двадцать пять.

\(n=25;\) \(a_{25}=3,4·25-0,6=84,4\)

Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму.

\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\)\(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac{2,8+84,4}{2}\)\(\cdot 25 =\)\(1090\)

Ответ готов.

Ответ:   \(S_{25}=1090\).



Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\)\(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\)\(\cdot n\), где 

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.

Пример .Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

\(S_{33}=\)\(\frac{2a_1+(33-1)d}{2}\)\(\cdot 33\)

Для решения задачи воспользуемся последней формулой. Первый элемент известен, нужно найти только разность прогрессии \(d\). Вычисляем ее как разность двух соседних элементов.

\(d=a_2-a_1=15,5-17=-1,5\)

Теперь можно посчитать сумму \(33\)-ех элементов.

\(S_{33}=\)\(\frac{2 \cdot 17+(33-1)(-1,5)}{2}\)\(\cdot 33=\)

Готово. Быстро и просто, почти как Доширак.  Но гораздо менее вредно.

\(=\)\(\frac{34-32·1,5}{2}\)\(\cdot 33\)\(=-231\)

Ответ готов.

Ответ:   \(S_{33}=-231\).




Более сложные задачи на арифметическую прогрессию

Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)

Пример (ОГЭ).Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\)\(\cdot n\)

Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)

Теперь бы подставить \(d\) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем \(n\). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для нашего случая.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)

Нам нужно, чтоб \(a_n\) стал больше нуля. Выясним, при каком \(n\) это произойдет.

\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)

Решаем полученное неравенство. Переносим \(-19,3\) через знак сравнения.

\((n-1)·0,3>19,3\)           \(|:0,3\)

Делим обе части неравенства на \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac{19,3}{0,3}\)

Переносим минус единицу, не забывая менять знаки

\(n>\)\(\frac{19,3}{0,3}\)\(+1\)

Вычисляем…

\(n>65,333…\)

…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер \(66\). Соответственно, последний отрицательный имеет \(n=65\). На всякий случай, проверим это.

\(n=65;\)      \(a_{65}=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\)
\(n=66;\)      \(a_{66}=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)

Таким образом, нам нужно сложить первые \(65\) элементов.

\(S_{65}=\)\(\frac{2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2}\)\(\cdot 65\)
\(S_{65}=\)\({-38,6+19,2}{2}\)\(\cdot 65=-630,5\)

Ответ готов.

Ответ:   \(S_{65}=-630,5\).



Пример (ОГЭ).Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_{n+1}=a_n+4\)

В этой задаче также нужно найти сумму элементов, но начиная не с первого, а с \(26\)-го. Для такого случая у нас формулы нет. Как решать?
Легко - чтобы получить сумму с \(26\)-го до \(42\)-ой, надо сначала найти сумму с \(1\)-ого по \(42\)-ой, а потом вычесть из нее сумму с первого до \(25\)-ого (см картинку).

сумма арифметической прогрессии

Для нашей прогрессии \(a_1=-33\), а разность \(d=4\) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых \(42\)-ух элементов.

\(S_{42}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(42-1)4}{2}\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac{-66+164}{2}\)\(\cdot 42=2058\)

Теперь сумму первых \(25\)-ти элементов.

\(S_{25}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(25-1)4}{2}\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac{-66+96}{2}\)\(\cdot 25=375\)

Ну и наконец, вычисляем ответ.

\(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683\)

Ответ:   \(S=1683\).

Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их здесь.



Смотрите также:  

Числовая последовательность
Геометрическая прогрессия


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*