Геометрическая прогрессия

Например, последовательность \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… является геометрической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего в два раза (иначе говоря, может быть получен из предыдущего умножением его на два):

Например, геометрическая прогрессия \(b_n = \{3; 6; 12; 24; 48…\}\) состоит из элементов \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) и так далее. Иными словами:

порядковый номер элемента	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	…
обозначение элемента	\(b_1\)	\(b_2\)	\(b_3\)	\(b_4\)	\(b_5\)	…
значение элемента	\(3\)	\(6\)	\(12\)	\(24\)	\(48\)	…

Если вы поняли вышеизложенную информацию, то уже сможете решить большинство задач на эту тему.

Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:

	Зная первый член и знаменатель, последовательно вычисляем элементы, пока не дойдем до нужного.
	Можно писать ответ.

Ответ: \(-686\).

Пример (ОГЭ): Даны первые три члена прогрессии \(324\); \(-108\); \(36\)…. Найдите \(b_5\).
Решение:

	Чтобы продолжить последовательность, нам нужно знать знаменатель. Найдем его из двух соседних элементов: на что нужно умножить \(324\), чтоб получилось \(-108\)?
\(324·q=-108\)	Отсюда без проблем вычисляем знаменатель.
\(q=-\) \(\frac{108}{324}\)\(=-\) \(\frac{1}{3}\)	Теперь мы легко находим нужный нам элемент.
	Готов ответ.

Ответ: \(4\).

Пример:  Прогрессия задана условием \(b_n=0,8·5^n\). Какое из чисел является членом этой прогрессии:

а) \(-5\)      б) \(100\)     в) \(25\)     г) \(0,8\) ?

Решение: Из формулировки задания очевидно, что одно из этих чисел точно есть в нашей прогрессии. Поэтому мы можем просто вычислять ее члены по очереди, пока не найдем нужное нам значение. Так как у нас прогрессия задана формулой n-го члена, то вычисляем значения элементов, подставляя разные \(n\):
\(n=1\);  \(b_1=0,8·5^1=0,8·5=4\) – такого числа в списке нет. Продолжаем.
\(n=2\);  \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) – и этого тоже нет.
\(n=3\);   \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) – а вот и наш чемпион!

Ответ: \(100\).

Пример (ОГЭ): Даны несколько идущих последовательно друг за другом членов геометрической прогрессии …\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).

Решение:

	Найти \(x\), можно, например, умножив \(8\) на знаменатель прогрессии. Однако мы его не знаем, поэтому сначала найдем знаменатель из двух известных соседних членов.
\(50·q=-125\)
\(q=-\) \(\frac{125}{50}\)\(=-\)\(2,5\)	Теперь вычисляем икс, умножая \(8\) на \(-2,5\).
	Задача решена.

Ответ: \(-20\).

Пример (ОГЭ): Прогрессия задана условиями \(b_1=7\), \(b_{n+1}=2b_n\). Найдите сумму первых \(4\) членов этой прогрессии.

Решение:

\(b_1=7\), \(b_{n+1}=2b_n\)		Мы знаем первый элемент и имеем рекуррентное соотношение - формулу для вычисления следующего элемента по предыдущему. Вот и найдем необходимые нам первые \(4\) элемента, подставляя разные \(n\).
\(n=1\);   \(b_{1+1}=2b_1 \:\: ⇔ \:\: b_2=2·7=14\) \(n=2\);   \(b_{2+1}=2b_2 \:\: ⇔ \:\: b_3=2·14=28\) \(n=3\);   \(b_{3+1}=2b_3 \:\: ⇔ \:\: b_4=2·28=56\)		Теперь найдем сумму.
\(S_4=b_1+b_2+b_3+b_4=\) \(=7+14+28+56=105\)		Ответ готов.

Ответ: \(105\).

Пример (ОГЭ): Известно, что в геометрической прогрессии \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Найдите знаменатель \(q\).

Решение:

	Из схемы слева видно, что чтобы «попасть» из \(b_6\) в \(b_9\) – мы делаем три «шага», то есть три раза умножаем \(b_6\) на знаменатель прогрессии. Иными словами \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).
\(b_9=b_6·q^3\)	Подставим известные нам значения.
\(704=(-11)·q^3\)	«Перевернем» уравнение и разделим его на \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac{704}{-11}\)\(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64\)	Какое число в кубе даст \(-64\)? Конечно, \(-4\)!
\(q=-4\)	Ответ найден. Его можно проверить, восстановив цепочку чисел от \(-11\) до \(704\).
	Все сошлось - ответ верен.

Ответ: \(-4\).

Важнейшие формулы

Как видите, большинство задач на геометрическую прогрессию можно решать чистой логикой, просто понимая суть (это вообще характерно для математики). Но иногда знание некоторых формул и закономерностей ускоряет и существенно облегчает решение. Мы изучим две такие формулы.

С помощью этой формулы можно, например, решить задачу из самого первого примера буквально в одно действие.

Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:

\(b_4=b_1·q^3\)		Нам нужен четвертый член, вот и вычисляем его сразу, напрямую, не находя всех промежуточных.
\(b_4=(-2)·7^3=(-2)·343=-686\).		Готов.

Ответ: \(-686\).

Этот пример был простым, поэтому формула нам облегчила вычисления не слишком сильно. Давайте разберем задачку чуть посложнее.

Пример: Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=20480\); \(q=\frac{1}{2}\). Найдите \(b_{12}\).
Решение:

\(b_{12}=b_1·q^{11}\)		Действуем как в предыдущей задаче.
\(b_4=20480·(\frac{1}{2})^{11}=20480·\frac{1}{2048}=10.\)		Есть ответ.

Ответ: \(10\).

Конечно, возводить \(\frac{1}{2}\) в \(11\)-ую степень не слишком радостно, но всё же проще чем \(11\) раз делить \(20480\) на два.

Пример (ОГЭ): Дана геометрическая прогрессия \(b_n\), знаменатель которой равен \(5\), а первый член \(b_1=\frac{2}{5}\). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

\(S_6=\)\( \frac{b_1·(q^6-1)}{q-1}\)	Все данные есть, сразу вычисляем ответ.
\(S_6=\)\( \frac{\frac{2}{5}·(5^6-1)}{5-1}\)\(=\)\( \frac{\frac{2}{5}·15624}{4}\)\(=\) \(=\)\( \frac{2·15624}{5·4}\)\(=\)\(\frac{15624}{10}\)\(=1562,4\)	Ответ готов.

Ответ: \(1562,4\).

И вновь мы могли решить задачу «в лоб» – найти по очереди все шесть элементов, а затем сложить результаты. Однако количество вычислений, а значит и шанс случайной ошибки, резко возросли бы.

Для геометрической прогрессии есть еще несколько формул, которые мы не стали рассматривать тут из-за их низкой практической пользы. Вы можете найти эти формулы здесь.

Возрастающие и убывающие геометрические прогрессии

У рассмотренной в самом начале статьи прогрессии \(b_n = \{3; 6; 12; 24; 48…\}\) знаменатель \(q\) больше единицы и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими.

Если же \(q\) меньше единицы, но при этом положителен (то есть, лежит в пределах от нуля до единицы), то каждый следующий элемент будет меньше чем предыдущий. Например, в прогрессии \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… знаменатель \(q\) равен \(\frac{1}{2}\).

Эти прогрессии называются убывающими. Обратите внимание, что ни один из элементов такой прогрессии не будет отрицателен, они просто становятся всё меньше и меньше с каждым шагом. То есть, мы будем постепенно приближаться к нулю, но никогда его не достигнем и за него не перейдем. Математики в таких случаях говорят «стремиться к нулю».

Отметим, что при отрицательном знаменателе элементы геометрической прогрессии будут обязательно менять знак. Например, у прогрессии \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)… знаменатель \(q\) равен \(-3\), и из-за этого знаки элементов «мигают».

Смотрите также:  
Числовая последовательность
Арифметическая прогрессия
Формулы геометрической прогрессии с примерами