Числовая последовательность

Числовой последовательностью называют ряд чисел, полученных по некоторому правилу или формуле.

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: \(2; 4; 6; 8; 10...\) А правило «первое число равно \(3\), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: \(3; 6; 12; 24; 48....\)


Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер.

Например, в последовательности \(3; 6; 12; 24; 48…\) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента.

То есть, если последовательность \(3; 6; 12; 24; 48…\) обозначить как \(a_n\), то можно записать, что \(a_1=3\), \(a_2=6\), \(a_3=12\), \(a_4=24\) и так далее.

Иными словами, для последовательности \(a_n=\{ 3;\: 6; \:12; \: 24; \: 48; \: 96; \: 192; \: 384…\}\).

порядковый номер элемента

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

\(6\)

\(7\)

\(8\)

обозначение элемента

\(a_1\)

\(a_2\)

\(a_3\)

\(a_4\)

\(a_5\)

\(a_6\)

\(a_7\)

\(a_8\)

значение элемента

\(3\)

\(6\)

\(12\)

\(24\)

\(48\)

\(96\)

\(192\)

\(384\)



Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: \(1; \: 1; \: 1; \: 1…\) .




Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

- I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Пример: Напишите первые пять членов последовательности квадратов натуральных чисел.

Решение: Натуральными называют числа, возникающие естественным образом при счете количества предметов, то есть: \(1; \: 2; \: 3; \: 4; \: 5\) и т.д. Нашу же последовательность формируют квадраты этих чисел, то есть \(1^2;\: 2^2; \: 3^2; \: 4^2; \: 5^2…\) . Таким образом, имеем ответ: \(1; \: 4; \: 9; \: 16; \: 25…\)

Ответ: \(1; \: 4; \: 9; \: 16; \: 25…\)

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.



- II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Пример: Последовательность задана формулой: \(b_n=\frac{n-1}{n^2}\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Вычислим \(b_1\). Это первый член последовательности, то есть его порядковый номер \(n\) равен единице. Тогда его значение равно \(b_1=\frac{1-1}{1^2} =\frac{0}{1}=0\).
У второго члена \(n=2\), то есть его значение равно \(b_2=\frac{2-1}{2^2} =\frac{1}{4}\).
Третий (\(n=3\)):    \(b_3=\frac{3-1}{3^2} =\frac{2}{9}\).
Четвертый (\(n=4\)):     \(b_4=\frac{4-1}{4^2} =\frac{3}{16}\).
Пятый (\(n=5\)):     \(b_5=\frac{5-1}{5^2} =\frac{4}{25}\) .
Готово. Можно писать ответ.

Ответ: \(b_n= \{0; \: \frac{1}{4}; \: \frac{2}{9}; \: \frac{3}{16}; \: \frac{4}{25}…\}\).

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

Пример: Последовательность задана формулой: \(a_n=8+5n-n^2\). Вычислите \(a_9\).

Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер \(n=9\). Подставляем в формулу: \(a_9=8+5·9-9^2=8+45-81=-28\).

Ответ: \(a_9=-28\).



III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Пример: Последовательность задана условиями: \(c_1=4\), \(c_{n+1}=c_n+3\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Первый член нам известен: \(c_1=4\).
Второй мы получим, подставив в формулу вместо \(n\) единицу: \(c_{1+1}=c_1+3\)
                                                                                                                     \(c_2=c_1+3=4+3=7\)
Третий (\(n=2\)):   \(c_{2+1}=c_2+3 \)
                                 \(c_3=c_2+3=7+3=10\).

Четвертый (\(n=3\)):     \(c_{3+1}=c_3+3\)
                                         \(c_4=c_3+3=10+3=13\).

Пятый (\(n=4\)):   \(c_{4+1}=c_4+3\)
                              \(c_5=c_4+3=13+3=16\).

Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.

Ответ: \(c_n=\{4; \: 7; \: 10; \: 13; \: 16…\}\).

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула \(c_{n+1}=c_n+3\) требовала именно этого. В ней \(c_n\) – это предыдущий элемент, а \(c_{n+1}\) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.


Пример: У последовательности известны первые два элемента \(z_1=2;\)   \(z_2=5\). Так же известна формула следующего элемента \(z_{n+2}=3z_{n+1}-z_n\). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:

Вычисления:

\(z_1\) \(z_2\) \(z_3\) \(z_4\) \(z_5\) \(...\)
\(2\) \(5\) ? ? ? \(...\)

Так как формула дана для элемента с номером \(n+2\), то чтобы найти \(z_3\) нужно подставлять вместо \(n\) единицу:
\(z_{1+2}=3z_{1+1}-z_1\)
\(z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13\)


\(z_1\) \(z_2\) \(z_3\) \(z_4\) \(z_5\) \(...\)
\(2\) \(5\) \(13\) ? ? \(...\)

Теперь найдем \(z_4\), подставив вместо \(n\) двойку:
\(z_{2+2}=3z_{2+1}-z_2\)
\(z_4=3z_3-z_2=3·13-5=34\)
\(z_1\) \(z_2\) \(z_3\) \(z_4\) \(z_5\) \(...\)
\(2\) \(5\) \(13\) \(34\) ? \(...\)
Наконец вычисляем \(z_5\), подставляя вместо \(n\) тройку:
\(z_{3+2}=3z_{3+1}-z_3\)
\(z_5=3z_4-z_3=3·34-13=89\)
\(z_1\) \(z_2\) \(z_3\) \(z_4\) \(z_5\) \(...\)
\(2\) \(5\) \(13\) \(34\) \(89\) \(...\)
Готово. Можно писать ответ.

Ответ: \(c_3=13\); \(c_4=34\); \(c_5=89\).


Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.




Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности \(a_n=n^2-n\):

а) \(1\)               б) \(3\)               в) \(6\)              г) \(10\) ?

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

\(a_1=1^2-1=0\) – мимо.

\(a_2=2^2-2=2\) – тоже не то.

\(a_3=3^2-3=6\) – есть!

Нужный элемент найден.

Ответ: \(6\).

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

  1. Подставляют заданное число в формулу \(n\) -го члена вместо \(a_n\); 

  2. Решая полученное уравнение, находят неизвестное \(n\); 

  3. Если \(n\) – натуральное, то данное число - член последовательности.


Пример: Выяснить, является ли число \(3\) членом последовательности \(a_n=\)\(\frac{51+2n}{n+4}\) ?


Решение:

\(a_n=\)\(\frac{51+2n}{n+4}\)

Если число \(3\) – член последовательности, то значит при некотором значении \(n\), формула \(\frac{51+2n}{n+4}\) должна дать нам тройку. Найдем это \(n\) по алгоритму выше.
Подставляем тройку вместо \(a_n\).

\(3=\)\(\frac{51+2n}{n+4}\)

Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель \((n+4)\).

\(3\cdot (n+4)=51+2n\)

Получилось линейное уравнение
Раскрываем скобки слева.

\(3n+12=51+2n\)

Собираем неизвестные слева, числа справа…

\(3n-2n=51-12\)

…и приводим подобные слагаемые.

\(n=39\)

Готово. Найденное значение – это то число, которое надо подставить вместо \(n\) в формулу \(\frac{51+2n}{n+4}\), чтоб получилось тройка (можете проверить это сами). Значит \(39\)-ый член последовательности равен трем.

Ответ: Да, число \(3\) является элементом данной последовательности.



Смотри также:
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*