Алгебраическая дробь

Например: \(\frac{7}{m}\);   \(\frac{a}{8+3x}\) или \(\frac{b(c-2)^2}{c^2-4}\).

Число или выражение, находящееся над дробной чертой называют числителем, а под чертой – знаменателем алгебраической дроби:

Алгебраическая дробь обладает всеми свойствами обыкновенной дроби.

Основное свойство алгебраической дроби:

Используя это свойство, мы можем работать с алгебраическими дробями, приводя их к общему знаменателю, складывая, сокращая и т.д.

Пример (задание из ОГЭ): Найдите значение выражения \(\frac{1}{a}\)\(-\)\(\frac{a^2-25}{5a}\)\(+\)\(\frac{a}{5}\) , если \(a=\)\(\frac{1}{9}\).
Решение. Для начала приведем дроби к общему знаменателю: \(5a\). Для этого первую дробь умножаем на \(5\) и третью – на \(a\) (мы можем это делать, так как знаем, что \(a≠0\)).

Теперь, подставляя \(a=\)\(\frac{1}{9}\) , получим:

\(\frac{6}{a}\)\(=6∶\)\(\frac{1}{9}\)\(=6·\)\(\frac{9}{1}\)\(=6·9=54\)

Ответ: 54.

Примеры других действий с дробями можно посмотреть здесь.

При упрощении выражений с алгебраическими дробями также весьма часто используется разложение на множители. Для этого широко применяются формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Пример: Упростить выражение \(\frac{4x^2-9y^2}{x}:\frac{2x-3y}{5x+xy}\).

Решение:

\(\frac{4x^2-9y^2}{x}:\frac{2x-3y}{5x+xy}\)\(=\)		Используя свойство деления дробей, переворачиваем вторую алгебраическую дробь, заменяя деление умножением.
\(=\)\(\frac{4x^2-9y^2}{x}·\frac{5x+xy}{2x-3y}\)\(=\)		Теперь преобразовываем слагаемые числителя первой дроби: \(4x^2=(2x)^2\)            \(9y^2=(3y)^2\), а в числителе второй выносим за скобку \(x\).
\(=\)\(\frac{(2x)^2-(3y)^2}{x}·\frac{x(5+y)}{2x-3y}\)\(=\)		Используя формулу сокращенного умножения \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) раскладываем на множители числитель первой дроби.
\(=\)\(\frac{(2x-3y)(2x+3y)}{x}·\frac{x(5+y)}{2x-3y}\)\(=\)		Сокращаем то, что сократить можно.
		Готов ответ.
\(=(2x+3y)·(5+y)\)

Смотрите также:
Действия с дробями

Скачать статью