Сложная функция. Производная сложной функции

   Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

\((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)

и сделать вот такое лицо:

лицо когда видишь формулу производной сложной функции

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.




Содержание:




Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот "сложнейший" процесс представлен на схеме ниже:

_производная сложной функции.png

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а \(x\), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции.

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса:

упаковка косинус икс

В результате получим, ясное дело, \(\cos⁡x\). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» - запаковываем, например, в кубическую функцию.

упаковка косинус икс в третью степень

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

как получается сложная функция

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» - «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

виды функций

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс. Получим:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус, а потом в котангенс:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x )\)

Просто, правда?


Напиши теперь сам функции, где икс:
   - сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием \(3\);
   - сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
   - сначала в логарифм по основанию \(4\), затем в степень \(-2\). 

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.


А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» \(4\) раза:

\(y=5^{\log_2⁡{\sin⁡(x^4 )}}\)

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше - у них может быть и посложнее☺).




«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть - какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Сделал?

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в \(4\)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию \(2\), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x )\). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x )\)

Еще пример: \(y=\cos⁡{(x^3 )}\). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: \(x → x^3 → \cos⁡{(x^3 )}\). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть \(\cos⁡{(x·x·x)})\), а там в кубе косинус \(x\) (то есть, \(\cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): \(y=\sin⁡{(2x+5)}\). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin⁡{(2x+5)}\). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных - два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) - тоже простая функция. Например, \(x^7\) – простая функция и \(ctg x\) - тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

\(x^7+ ctg x\) - простая,
\(x^7· ctg x\) – простая,
\(\frac{x^7}{ctg x}\) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

как получается сложная функция


Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
   \(y=cos{⁡(sin⁡x)}\)
   \(y=5^{x^7}\)
   \(y=arctg⁡{11^x}\)
   \(y=log_2⁡(1+x)\)
Ответы опять в конце статьи.




Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция - это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: \(y=tg⁡(log_2⁡x )\), функция \(\log_2⁡x\) – внутренняя, а тангенс - внешняя.

А в этом: \(y=\cos⁡{(x^3+2x+1)}\),   \(x^3+2x+1\) - внутренняя,  а косинус - внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось - будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

задание на определение сложной функции




Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

\((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)

Формула эта читается так:

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.

И сразу смотри схему разбора "по словам" чтобы понимать, что к чему относится:

как брать производную сложной функции

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» - мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция \(y=\sin⁡(x^3 )\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя синус . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!):      \(({\sin⁡{x}})'=\cos⁡{x}\).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет \(\cos⁡(x^3)\). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

пример взятия производной сложной функции по формуле

Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от \(x^3\).

\((x^3 )'=3x^2\)

Все, теперь можем писать ответ:

производная сложной функции синус

Вот так. Давай еще один пример разберем.


Пусть надо найти производную функции \(y=(\sin⁡x )^3\).

Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: \(x → \sin⁡x → (\sin⁡x )^3\). Значит, в данном примере внутренняя функция это \(\sin⁡x\), а внешняя возведение в куб.

Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как производная от степенной функции, а в нашем случае в куб «завернут» \(\sin⁡x\), то производная внешней будет \(3(\sin⁡x)^2\). То есть, имеем:

синус в кубе взятие производной

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

В итоге, имеем:

\(y'=((\sin⁡x )^3 )'=3(\sin⁡x )^2·(\sin⁡x )'=3(\sin⁡x )^2·\cos⁡x\)

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺


Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^2-x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x → x^2-x → \ln⁡(x^2-x)\).
Внутренняя: \(x^2-x\).            Внешняя: натуральный логарифм.  
Из таблицы производных знаем:производная натурального логарифма.
То есть производная внешней по внутренней будет: \(\ln⁡(x^2-x)'=\) \(\frac{1}{x^2-x}\).
Производная внутренней: \((x^2-x)'= (x^2)'-(x)'=2x-1\).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

\(y '=(\ln⁡(x^2-x) )'=\)\(\frac{1}{x^2-x}\)\(·(2x-1)\)

Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:

\(y '=(\ln⁡(x^2-x))'=\)\(\frac{1}{x^2-x}\)\(·(2x-1)=\)\(\frac{2x-1}{x^2-x}\)

Готово.

Что, еще примеров желаешь? Легко.


Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sin⁡{(\cos⁡x)}\).
Вложенность функций: \(x → \cos⁡x → \sin⁡{(\cos⁡x)}\)
Внутренняя: \(\cos⁡x\)    Внешняя:синус
Производная внешней по внутренней: \(\sin{⁡(\cos⁡x )}'=\cos⁡{\cos⁡x}\)
Производная внутренней: \((\cos⁡x )'= -\sin⁡x\)
Имеем: \(y'=(\sin⁡{(\cos⁡x)})'=\cos⁡{\cos⁡x}·(-\sin⁡x )=-\cos⁡{\cos⁡x} ·\sin⁡x\)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись \(\cos⁡{\cos⁡x}\) на \(\cos^2⁡x\) НЕЛЬЗЯ, так как \(\cos^2⁡x\) - это комбинация простых функций \(\cos^ 2⁡x=\cos⁡x·\cos⁡x\), а \(\cos⁡{\cos⁡x}\) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.


Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sqrt{x^6} \)
Вложенность функций: \(x → x^6 → \sqrt{x^6}\)
Внутренняя: \(x^6\)      Внешняя: корень
Производная внешней по внутренней: \(\sqrt{x^6}'=\)\(\frac{1}{2\sqrt{x^6}}\)
Производная внутренней: \((x^6)'= 6x^5\)
Имеем: \((\sqrt{x^6})'=\)\(\frac{1}{2\sqrt{x^6}}\)\(·6x^5\)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: \(\sqrt[b]{x^a} =x^{\frac{a}{b}}\). Тогда \(\sqrt{x^6}=x^{\frac{6}{2}}=x^3\). С учетом этого получаем:

\(y'=( \sqrt{x^6})'=\)\(\frac{1}{2\sqrt{x^6}}\)\(·6x^5=\)\(\frac{1}{2x^3}\)\(·6x^5=\)\(\frac{6x^5}{2x^3}\)\(=3x^2\)

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Тот же самый ответ, но значительно меньшими усилиями мы могли бы получить, упростив исходную функцию сразу. Воспользуемся тем же свойством корня: \(\sqrt[b]{x^a} =x^{\frac{a}{b}}\). Тогда исходная функция приобретает вид: \(y=\sqrt{x^6}=x^{\frac{6}{2}}=x^3\). А производная куба это практически табличное значение! Готов ответ: \(y'=(\sqrt{x^6})'=(x^3 )'=3x^2\). Немножко проще предыдущего решения, правда ☺? Поэтому прежде чем искать производную, посмотрите, можно ли исходную функцию упростить, чтоб решать было проще.

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.


Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln⁡(x^3)\).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: \(x → x^3 → \ln⁡(x^3 )\), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: \(\log_a⁡{b^c}=c·\log_a{⁡b}\). И тогда функция получается \(y=\ln⁡(x^3 )=3\ln⁡x\). Отлично! Берем производную:

\(y'=(\ln⁡(x^3 ) )'=(3\ln⁡x )'=3(\ln⁡x )'=3·\)\(\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\)

Вуаля!

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции \(y=3^{\sin⁡(x^4+1)}\).
Вложенность функций: \(x → x^4+1 → \sin⁡(x^4+1) → 3^{\sin⁡(x^4+1)}\)
Внутренняя: \(x^4+1\)    Средняя: синус     Внешняя: возведение в куб
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: производная от показательной функции. Значит, в нашем случае будет \(3^{\sin⁡(x^4+1)}·\ln⁡3\).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: производная синуса. Значит, мы получим, \(\sin⁡(x^4+1)'=\cos⁡(x^4+1)\).
И наконец, производная внутренней: \((x^4+1)'=(x^4 )'+(1)'=4x^3\).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

\((3^{\sin⁡(x^4+1)})'=3^{\sin⁡(x^4+1)} ·\ln⁡3·\cos⁡{(x^4+1)}·4x^3\)

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺


Пример: Найти производную сложной функции \(y=tg⁡(7^x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x \: → \:7^x \: → \:tg⁡(7^x)\).
Внутренняя: \(7^x\)       Внешняя: \(tg⁡(7^x)\).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: производная тангенса.
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет:  \(\frac{1}{\cos^2⁡(7^x)}\).
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: \((7^x)'=7^x·\ln⁡7\).
И перемножаем результаты:

\(y'=tg⁡(7^x)'=\)\(\frac{1}{cos^2⁡(7^x)}·7^x·\ln⁡7\)

И "причесываем":   \(y'=(tg⁡(7)^x))'=\)\(\frac{1}{cos^2⁡(7^x )}\)\( ·7^x·\ln⁡7=\)\(\frac{\ln⁡7·7^x}{cos^2⁡(7^x)}\).

Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.


Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=\sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}\).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

\(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^2 → \sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}\).

Но давай снова воспользуемся свойством корня \(\sqrt[b]{x^a} =x^{\frac{a}{b}}\) и преобразуем нашу функцию к виду:

\(y=\sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}=(x^5+2x-5)^{\frac{2}{3}}\)

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: \(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^{\frac{2}{3}}\)
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: \(x^5+2x-5\).    Внешняя: степенная функция.
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции: производная степенной функции  . Получаем: _производная сложной функции(23).png  . Тогда в нашем случае будет: \(\frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-\frac{1}{3}}\).
Производная внутренней: \((x^5+2x-5)'=5x^4+2\).
Общий результат: \(y '=(\sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2})'=((x^5+2x-5)^{\frac{2}{3}} )'=\frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-\frac{1}{3}}·(5x^4+2)\).

В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед.
Вспоминаем свойство отрицательной степени \(a^{-n}=\)\(\frac{1}{a^n}\). Получаем:

\(y '=\frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-\frac{1}{3}}·(5x^4+2)=\)\(\frac{2}{3}\)\(·\)\(\frac{1}{(x^5+2x-5)^{\frac{1}{3}}}\)\(·(5x^4+2)\)

А теперь применяем свойство корня \(\sqrt[b]{x^a} =x^{\frac{a}{b}}\) в обратную сторону. То есть, вот так \(x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}\). В результате имеем:

\(y'=\)\(\frac{2}{3}\)\(\frac{1}{(x^5+2x-5)^{\frac{1}{3}}}\)\(·(5x^4+2)=\)\(\frac{2}{3}\)\(\frac{1}{\sqrt[3]{x^5+2x-5}}\)\(·(5x^4+2)\)

Ну, и перемножаем дроби.

\(y'=\)\(\frac{2}{3}\)\(\frac{1}{\sqrt[3]{x^5+2x-5}}\)\(·(5x^4+2)=\)\(\frac{2(5x^4+2)}{3\sqrt[3]{x^5+2x-5}}\)\(=\)\(\frac{10x^4+4}{3\sqrt[3]{x^5+2x-5}}\)

ВСЁ!!! А теперь сам.



Найти производные функций:

a. \(y=ctg⁡(x^7)\)
b. \(y=e^{x^4+5x^3}\)
c. \(y=\sqrt{\cos⁡x}\)
d. \(y=\log_5⁡{5^x}\)
e. \(y=(tg⁡x)^3\)
f. \(y=\sin⁡(\ln⁡(x^2))\)




Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

\(y=tg⁡(x^5)\)
\(y=\log^{-2}_{4}{⁡x}\)
\(y=3^{\cos⁡x}\)

\(x → 1+x → \log_2⁡{(1+x)} \)
\(x → 11^x → arctg⁡(11^x) \)
\(x → x^7 → 5^{x^7}\)
\(x → \sin⁡x → \cos⁡(\sin⁡x)\)

ответы

ответы на взятие производной.png

Сошлось? Красавчик!

когда научился брать производные сложной функции


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*
Алексей
Нет слов , как круто. Спасибо.
Администратор сайта
Рады быть полезными. :)
Приходите еще.
Данил
Жаль нельзя материться, в каком я восторге от объяснений))
Администратор сайта
Да, согласен, это одна из лучших наших статей. :)
Алина
Здравствуйте, подскажите пожалуйста, функция 1/(x^2-x) будет простой или сложной? Если учесть, что x^2-x вложено в функцию обратной пропорциональности y=k/x, то вроде как сложная
Но функция f(x)=x/(1+x^2) по аналогии с x^7/ctgx должна быть простой

В итоге уточните,пожалуйста, функция f(x)=x/(1+x^2) будет являться простой(как деление 2 простых функций y=x и y=1+x^2) или сложной (как вложеная функция y=1+x^2 в функцию обратной пропорциональности y=k/x и все это умножено на простую функцию y=x)?
статья хорошая токо напрягают эти странные гейские смайлики ☺️☺️☺️☺️
Алекс Зю
Вы очень мне помогли. 10 класс, сейчас карантин, а это для меня очень сложная тема. Пол часа пыталась понять, пока не нашла вашу статью. Большое спасибо
Администратор сайта
Спасибо за комментарий. Мы рады быть полезными. Приходите нам снова.
Лусия
Огромное Вам спасибо! Я очень расстроилась когда начала испытывать трудности с этой темой, но вы помогли и эти смайлики и мемы на фоне, честно поддержали. Как-то даже легче. Опять таки большое спасибо! Все было ясно и просто. Удачи Вам, Администратор.
Администратор сайта
Благодарим за теплые слова. Они мотивируют продолжать работу над сайтом и писать новые крутые статьи. :)