Сложная функция. Производная сложной функции

   Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

\((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)

и сделать вот такое лицо:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Содержание:

• Что такое сложная функция?
• "Распаковка" сложной функции
• Внутренняя и внешняя функция
• Производная сложной функции. Примеры

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот "сложнейший" процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а \(x\), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции.

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса:

В результате получим, ясное дело, \(\cos⁡x\). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» - запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» - «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс. Получим:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус, а потом в котангенс:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x )\)

Просто, правда?

Напиши теперь сам функции, где икс:
   - сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием \(3\);
   - сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
   - сначала в логарифм по основанию \(4\), затем в степень \(-2\). 

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» \(4\) раза:

\(y=5^{\log_2⁡{\sin⁡(x^4 )}}\)

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше - у них может быть и посложнее☺).

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть - какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Сделал?

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в \(4\)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию \(2\), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x )\). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x )\)

Еще пример: \(y=\cos⁡{(x^3 )}\). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: \(x → x^3 → \cos⁡{(x^3 )}\). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть \(\cos⁡{(x·x·x)})\), а там в кубе косинус \(x\) (то есть, \(\cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): \(y=\sin⁡{(2x+5)}\). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin⁡{(2x+5)}\). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных - два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) - тоже простая функция. Например, \(x^7\) – простая функция и \(ctg x\) - тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

\(x^7+ ctg x\) - простая,
\(x^7· ctg x\) – простая,
\(\frac{x^7}{ctg x}\) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
   \(y=cos{⁡(sin⁡x)}\)
   \(y=5^{x^7}\)
   \(y=arctg⁡{11^x}\)
   \(y=log_2⁡(1+x)\)
Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция - это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: \(y=tg⁡(log_2⁡x )\), функция \(\log_2⁡x\) – внутренняя, а  - внешняя.

А в этом: \(y=\cos⁡{(x^3+2x+1)}\),   \(x^3+2x+1\) - внутренняя,  а  - внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось - будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

\((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)

Формула эта читается так:

И сразу смотри схему разбора "по словам" чтобы понимать, что к чему относится:

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» - мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция \(y=\sin⁡(x^3 )\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя  . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!):      \(({\sin⁡{x}})'=\cos⁡{x}\).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет \(\cos⁡(x^3)\). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от \(x^3\).

\((x^3 )'=3x^2\)

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции \(y=(\sin⁡x )^3\).

Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: \(x → \sin⁡x → (\sin⁡x )^3\). Значит, в данном примере внутренняя функция это \(\sin⁡x\), а внешняя .

Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» \(\sin⁡x\), то производная внешней будет \(3(\sin⁡x)^2\). То есть, имеем:

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

В итоге, имеем:

\(y'=((\sin⁡x )^3 )'=3(\sin⁡x )^2·(\sin⁡x )'=3(\sin⁡x )^2·\cos⁡x\)

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^2-x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x → x^2-x → \ln⁡(x^2-x)\).
Внутренняя: \(x^2-x\).            Внешняя: .  
Из таблицы производных знаем:.
То есть производная внешней по внутренней будет: \(\ln⁡(x^2-x)'=\) \(\frac{1}{x^2-x}\).
Производная внутренней: \((x^2-x)'= (x^2)'-(x)'=2x-1\).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

\(y '=(\ln⁡(x^2-x) )'=\)\(\frac{1}{x^2-x}\)\(·(2x-1)\)

Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:

\(y '=(\ln⁡(x^2-x))'=\)\(\frac{1}{x^2-x}\)\(·(2x-1)=\)\(\frac{2x-1}{x^2-x}\)

Готово.

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sin⁡{(\cos⁡x)}\).
Вложенность функций: \(x → \cos⁡x → \sin⁡{(\cos⁡x)}\)
Внутренняя: \(\cos⁡x\)    Внешняя:
Производная внешней по внутренней: \(\sin{⁡(\cos⁡x )}'=\cos⁡{\cos⁡x}\)
Производная внутренней: \((\cos⁡x )'= -\sin⁡x\)
Имеем: \(y'=(\sin⁡{(\cos⁡x)})'=\cos⁡{\cos⁡x}·(-\sin⁡x )=-\cos⁡{\cos⁡x} ·\sin⁡x\)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись \(\cos⁡{\cos⁡x}\) на \(\cos^2⁡x\) НЕЛЬЗЯ, так как \(\cos^2⁡x\) - это комбинация простых функций \(\cos^ 2⁡x=\cos⁡x·\cos⁡x\), а \(\cos⁡{\cos⁡x}\) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sqrt{x^6} \)
Вложенность функций: \(x → x^6 → \sqrt{x^6}\)
Внутренняя: \(x^6\)      Внешняя:
Производная внешней по внутренней: \(\sqrt{x^6}'=\)\(\frac{1}{2\sqrt{x^6}}\)
Производная внутренней: \((x^6)'= 6x^5\)
Имеем: \((\sqrt{x^6})'=\)\(\frac{1}{2\sqrt{x^6}}\)\(·6x^5\)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: \(\sqrt[b]{x^a} =x^{\frac{a}{b}}\). Тогда \(\sqrt{x^6}=x^{\frac{6}{2}}=x^3\). С учетом этого получаем:

\(y'=( \sqrt{x^6})'=\)\(\frac{1}{2\sqrt{x^6}}\)\(·6x^5=\)\(\frac{1}{2x^3}\)\(·6x^5=\)\(\frac{6x^5}{2x^3}\)\(=3x^2\)

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Тот же самый ответ, но значительно меньшими усилиями мы могли бы получить, упростив исходную функцию сразу. Воспользуемся тем же свойством корня: \(\sqrt[b]{x^a} =x^{\frac{a}{b}}\). Тогда исходная функция приобретает вид: \(y=\sqrt{x^6}=x^{\frac{6}{2}}=x^3\). А производная куба это практически табличное значение! Готов ответ: \(y'=(\sqrt{x^6})'=(x^3 )'=3x^2\). Немножко проще предыдущего решения, правда ☺? Поэтому прежде чем искать производную, посмотрите, можно ли исходную функцию упростить, чтоб решать было проще.

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln⁡(x^3)\).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: \(x → x^3 → \ln⁡(x^3 )\), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: \(\log_a⁡{b^c}=c·\log_a{⁡b}\). И тогда функция получается \(y=\ln⁡(x^3 )=3\ln⁡x\). Отлично! Берем производную:

\(y'=(\ln⁡(x^3 ) )'=(3\ln⁡x )'=3(\ln⁡x )'=3·\)\(\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\)

Вуаля!

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции \(y=3^{\sin⁡(x^4+1)}\).
Вложенность функций: \(x → x^4+1 → \sin⁡(x^4+1) → 3^{\sin⁡(x^4+1)}\)
Внутренняя: \(x^4+1\)    Средняя:      Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет \(3^{\sin⁡(x^4+1)}·\ln⁡3\).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, \(\sin⁡(x^4+1)'=\cos⁡(x^4+1)\).
И наконец, производная внутренней: \((x^4+1)'=(x^4 )'+(1)'=4x^3\).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

\((3^{\sin⁡(x^4+1)})'=3^{\sin⁡(x^4+1)} ·\ln⁡3·\cos⁡{(x^4+1)}·4x^3\)

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=tg⁡(7^x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x \: → \:7^x \: → \:tg⁡(7^x)\).
Внутренняя: \(7^x\)       Внешняя: \(tg⁡(7^x)\).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет:  \(\frac{1}{\cos^2⁡(7^x)}\).
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: \((7^x)'=7^x·\ln⁡7\).
И перемножаем результаты:

\(y'=tg⁡(7^x)'=\)\(\frac{1}{cos^2⁡(7^x)}·7^x·\ln⁡7\)

И "причесываем":   \(y'=(tg⁡(7)^x))'=\)\(\frac{1}{cos^2⁡(7^x )}\)\( ·7^x·\ln⁡7=\)\(\frac{\ln⁡7·7^x}{cos^2⁡(7^x)}\).

Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=\sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}\).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

\(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^2 → \sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}\).

Но давай снова воспользуемся свойством корня \(\sqrt[b]{x^a} =x^{\frac{a}{b}}\) и преобразуем нашу функцию к виду:

\(y=\sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}=(x^5+2x-5)^{\frac{2}{3}}\)

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: \(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^{\frac{2}{3}}\)
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: \(x^5+2x-5\).    Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции:   . Получаем:   . Тогда в нашем случае будет: \(\frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-\frac{1}{3}}\).
Производная внутренней: \((x^5+2x-5)'=5x^4+2\).
Общий результат: \(y '=(\sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2})'=((x^5+2x-5)^{\frac{2}{3}} )'=\frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-\frac{1}{3}}·(5x^4+2)\).

В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед.
Вспоминаем свойство отрицательной степени \(a^{-n}=\)\(\frac{1}{a^n}\). Получаем:

\(y '=\frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-\frac{1}{3}}·(5x^4+2)=\)\(\frac{2}{3}\)\(·\)\(\frac{1}{(x^5+2x-5)^{\frac{1}{3}}}\)\(·(5x^4+2)\)

А теперь применяем свойство корня \(\sqrt[b]{x^a} =x^{\frac{a}{b}}\) в обратную сторону. То есть, вот так \(x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}\). В результате имеем:

\(y'=\)\(\frac{2}{3}\)\(\frac{1}{(x^5+2x-5)^{\frac{1}{3}}}\)\(·(5x^4+2)=\)\(\frac{2}{3}\)\(\frac{1}{\sqrt[3]{x^5+2x-5}}\)\(·(5x^4+2)\)

Ну, и перемножаем дроби.

\(y'=\)\(\frac{2}{3}\)\(\frac{1}{\sqrt[3]{x^5+2x-5}}\)\(·(5x^4+2)=\)\(\frac{2(5x^4+2)}{3\sqrt[3]{x^5+2x-5}}\)\(=\)\(\frac{10x^4+4}{3\sqrt[3]{x^5+2x-5}}\)

ВСЁ!!! А теперь сам.

Найти производные функций:

a. \(y=ctg⁡(x^7)\)
b. \(y=e^{x^4+5x^3}\)
c. \(y=\sqrt{\cos⁡x}\)
d. \(y=\log_5⁡{5^x}\)
e. \(y=(tg⁡x)^3\)
f. \(y=\sin⁡(\ln⁡(x^2))\)

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

\(y=tg⁡(x^5)\)
\(y=\log^{-2}_{4}{⁡x}\)
\(y=3^{\cos⁡x}\)

\(x → 1+x → \log_2⁡{(1+x)} \)
\(x → 11^x → arctg⁡(11^x) \)
\(x → x^7 → 5^{x^7}\)
\(x → \sin⁡x → \cos⁡(\sin⁡x)\)

Сошлось? Красавчик!