Метод рационализации с примерами

\(\log_{0,25x^2 }(\frac{x+12}{4})≤1\)

Здесь есть логарифм, поэтому нужно записать ОДЗ.

ОДЗ: \(\begin{cases}\frac{x+12}{4}>0\\0,25x^2>0\\0,25x^2≠1\end{cases}\) \(⟺\) \(\begin{cases}x+12 >0\\ x^2>0\\ x^2≠4\end{cases}\)

\(⟺\) \(\begin{cases}x >-12\\ x≠0\\ x≠±2 \end{cases}\)
\(x∈(-12;-2)∪(-2;0)∪(0;2)∪(2;∞)\)

Представим эту систему в виде интервалов.

Решение:
\(\log_{0,25x^2 }(\frac{x+12}{4})≤1\)

Неравенство, в котором есть логарифм с переменным основанием, практические всегда решается с помощью метода рационализации. Одно из условий метода рационализации – с одной стороны должен стоять \(0\). Чтобы выполнить это условие перенесем \(1\) влево.

\(\log_{0,25x^2 }(\frac{x+12}{4})-1≤0\)

Преобразуем \(1\) до логарифма с основанием \(0,25x^2\): \(1=\log_{0,25x^2}(0,25x^2)\).

\(\log_{0,25x^2 }(\frac{x+12}{4})-\log_{0,25x^2}{0,25x^2}≤0\)

Вот теперь можно применить метод рационализации.

Применим метод рационализации:

\((0,25x^2-1)(\frac{x+12}{4}-0,25x^2 )≤0\)

До множим неравенство на \(16\). Чтобы в первой и второй скобке избавится от дробных чисел.

\(16(0,25x^2-1)(\frac{x+12}{4}-0,25x^2 )≤0\)

Разложим \(16\) на \(4 \cdot 4\). Умножим первую и вторую скобку на \(4\).

\((x^2-4)(x+12-x^2 )≤0\)

Вынесем из второй скобки \(-1\). Первую разложим на множители.

\(-(x-2)(x+2)(x^2-x-12)≤0\)

Умножим неравенство на \(-1\) и разложим третью скобку с помощью теоремы Виета.

\((x-2)(x+2)(x+3)(x-4)≥0\)

Применяем метод интервалов.

Теперь объединим это с ОДЗ.

Запишем ответ.