Всё о 15 задаче ЕГЭ – неравенства

15 задача ЕГЭ – это всегда неравенство. На реальных ЕГЭ бывают 3 вида неравенств: показательные, логарифмические и смешанные.

Что нужно знать?

1. Метод интервалов
2. Как решаются дробно-рациональные неравенства
3. Как делается замена и обратная замена в неравенствах
4. Как решаются показательные неравенства
5. Свойства логарифмов
6. Как решаются логарифмические неравенства
7. Метод рационализации

Задачи, которые были на экзамене за последние 7 лет с решениями на полный балл

2022:

2021:

2020:

2019:

2018:

2017:

2016:

2015:

Процент выполнения

А вот данные сколько процентов пишущих экзамен решили задачу на неравенство в разные годы:

Сколько процентов из тех, кто решал экзамен в 2021 году*, набрал в задаче хотя бы 1 балл:

* так как в 2022 году ЕГЭ был сильно скорректирован, то некоторые задачи изменили свой номер, какие-то исчезли совсем, а другие добавились. В таблице приведены данные 2021 года, приведенные к формату экзамена 2022 (поэтому, например, в задачах 9 и 10 стоят прочерки – это новые задачи)

Типичные ошибки

1. Ошибки по невнимательности

Если вы будете готовиться к 14 задаче ЕГЭ, то практически наверняка одной из главных проблем станут ошибки по невнимательности. Из всех задач профильного ЕГЭ эта задача, пожалуй, самая опасная в плане мелких ошибок. Как научиться не допускать их написано в этой статье.

Примеры таких ошибок по невнимательности выделены желтым

2. Неправильно использовать метод интервалов

Метод интервалов – это база для 14 задачи ЕГЭ. Поэтому если вы хотите научиться решать неравенства на ЕГЭ – первым делом освойте метод интервалов, чтоб ошибок не было. Вот как «косячат» в нем школьники на реальном экзамене.

3. Умножить/делить на выражение с переменной

Почему в общем случае неравенство нельзя умножать или делить на выражение с переменной? Все дело в том, что если мы неравенство умножаем (делим) на положительное число, то должны оставить знак сравнения тем же, а если на отрицательное – перевернуть его.

\(2x>4\)        \(-2x>4\)
\(x>2\)           \(x<-2\)

Но чаще всего мы не знаем положительно или отрицательно выражение, на которое собрались умножать (делить), потому что при разных значениях переменной знак выражения может меняться. То есть, возникает неясность - переворачивать знак сравнения или оставить тем же? Поэтому в неравенствах так не делают. В уравнении можно, в неравенстве нет.

Уравнение (можно и нужно умножать на икс)	Неравенство (нужно приводить к общему знаменателю)
\(\frac{1}{x}=1\)    |\(·x\)	\(\frac{1}{x}>1\)
\(1=x\)	\(\frac{1}{x}-1>0\)
\(x=1\)	\(\frac{1-x}{x}>0\) \(|·(-1)\)
	\(\frac{x-1}{x}<0\)
	\(x∈(0;1)\)

Хотя бывают исключения, когда знак выражения с иксом определен. Например, на \(2^x\) умножить или разделить неравенство можно, потому что \(2^x\) положительно всегда, независимо от значения \(x\).

\(\frac{2^x-1}{2^x} ≥0\)       \(|\cdot2^x\)
\(2^x-1≥0\)                 

Также бывает, что выражение положительно не всегда, но мы знаем, что в данном конкретном неравенстве это так, поскольку, например, таковы требования ОДЗ.

\(\log_2⁡x+\log_2⁡\frac{1}{x^2}≥0\) \(\log_2⁡x \frac{1}{x^2} ≥\log_2⁡1\) \(\frac{1}{x}≥ 1\)    \(|\cdot x\) \(1≥x\) \(x≤1\)

Огр. \(\begin{cases} x>0 \\ \frac{1}{x^2} >0 \end{cases}\)

Несколько примеров с ошибками:

4. Неправильно привести к общему знаменателю

Чаще всего такую ошибку допускают те ученики, которые ленятся написать лишнюю строчку, делают два, а то и три действия за один ход: сразу и домножаем, и раскрываем скобки, и тут же в уме приводим подобные слагаемые. Вот, например, в примере внизу пропущен шаг домножения дробей на недостающие множители и раскрытие скобок. Подозреваю, что из-за этого и возникла ошибка.

Сравните с этим бланком, где выпускник все сделал постепенно, по шагам и закономерно получил верный ответ.

5. Не сделать обратную замену

Это вообще классика – сделать замену и забыть вернуться к исходной переменной. Вот пример.

6. Неправильно снять квадрат

Такая ошибка редко совершается на самом ЕГЭ, потому что так обычно ошибаются те, кто только начал проходить неравенства. Но зато в начале пути ее делают практически все, поэтому я внесла её в список.