Кусочные функции. Как построить график кусочной функции

Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.

Примеры:

То есть, графики кусочных функций выглядят как «франкенштейны» - разные части берут у разных функций и «слепляют» вместе.

Как построить графики кусочных функций?

Очень просто. Нужно каждый кусочек функции построить на выделенном для него участке, не залезая на соседние. При этом неважно каким именно способом строятся эти кусочки – можно с помощью элементарных преобразований, можно по точкам.

Пример. Построить график кусочной функции \(y=\begin{cases}-\frac{5}{x}, & x≤-1\\x^2-4x,& x>-1\end{cases}\)

Решение.

Отметим их на координатной плоскости:

\(y=-\)\(\frac{5}{x}\) - гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку \((-1;5)\).

2) Построим вторую функцию на области \(x∈(-1;∞)\).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции \(y=x^2-4x\) в точке \(-1\):
\(y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.

\(y=x^2-4x\) – квадратичная функция, график этой функции - парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:

\(x_в=\)\(\frac{-b}{2a};\)   \(x_в=\)\(\frac{4}{2}\)\(=2\)
\(y_в=2^2-4 \cdot 2=4-8=-4.\)

Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.

Найдем значение в точке \(1\) и \(0\):
\(y(1)=1^2-4\cdot 1=1-4=-3\)
\(y(0)=0^2-4\cdot 0=0\)
Отметим точки \((1;-3)\), \((0;0)\) и симметричные им на координатной плоскости.

Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.

Готово. График кусочной функции построен.

Как не должна выглядеть кусочная функция:

Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.

Кусочная функция с разрывом

В рассмотренном выше примере функция не имела разрыва в граничной точке (то есть, значения при \(x=-1\) были одинаковы и слева, и справа). Но так бывает не всегда.
Например, у функции \(y=\begin{cases}x+1,& при & x<0\\-x^2+2x+3, & при & x≥0\end{cases}\) есть разрыв в точке \(0\), потому что значение кусочков этой функции в граничной точке \(0\) не совпадает:
при \(x=0\) в первом кусочке, \(y(0)=0+1=1\);
при \(x=0\) во втором кусочке \(y(0)=-0^2+2\cdot 0+3=3\).
На графике это выглядит так:

Заметьте, что \(x=0\) включен во вторую часть функции (ведь ее область «икс больше или равен нулю), но не включен в первую (так как там «строго меньше нуля»). Поэтому граничную точку параболы мы закрашиваем, а линейной - выкалываем.

Смотрите также:
Все виды функций (шпаргалка)

Скачать статью