Кусочные функции. Как построить график кусочной функции

Кусочными функциями называют функции, которые заданы разными формулами на разных промежутках.


Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.

Примеры:

\(y=\begin{cases}2,5x-1,& при & x<2\\11-3,5x, & при & 2≤x≤3\\ x-2,5, & при & x>3\end{cases}\)

линейно-кусочная функция

\(y=\begin{cases}x+1,& при & x<0\\-x^2+2x+3, & при & x≥0\end{cases}\)

кусочная функция прямая+парабола

То есть, графики кусочных функций выглядят как «франкенштейны» - разные части берут у разных функций и «слепляют» вместе.

пример кусочной функции




Как построить графики кусочных функций?

Очень просто. Нужно каждый кусочек функции построить на выделенном для него участке, не залезая на соседние. При этом неважно каким именно способом строятся эти кусочки – можно с помощью элементарных преобразований, можно по точкам.

Пример. Построить график кусочной функции \(y=\begin{cases}-\frac{5}{x}, & x≤-1\\x^2-4x,& x>-1\end{cases}\)

Решение.

1) Построим первую функцию на области \(x∈(-∞;-1]\). Для этого найдем несколько точек из этого участка, одна из которых - граничная точка с \(x=-1\).

\(x\)

\(-1\)

\(-2\)

\(-5\)

\(y\)

\(5\)

\(2,5\)

\(1\)

Отметим их на координатной плоскости:

точки на координатной плоскости

\(y=-\)\(\frac{5}{x}\) - гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку \((-1;5)\).

соединяем точки

2) Построим вторую функцию на области \(x∈(-1;∞)\).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции \(y=x^2-4x\) в точке \(-1\):
\(y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.

\(y=x^2-4x\) – квадратичная функция, график этой функции - парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:

\(x_в=\)\(\frac{-b}{2a};\)   \(x_в=\)\(\frac{4}{2}\)\(=2\)
\(y_в=2^2-4 \cdot 2=4-8=-4.\)

Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.

строим второй кусочек функции

Найдем значение в точке \(1\) и \(0\):
\(y(1)=1^2-4\cdot 1=1-4=-3\)
\(y(0)=0^2-4\cdot 0=0\)
Отметим точки \((1;-3)\), \((0;0)\) и симметричные им на координатной плоскости.

добавляем точек

Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.

кусочная функция 9.png

Готово. График кусочной функции построен.


Как не должна выглядеть кусочная функция:

как не должна выглядеть кусочная функция

Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.




Кусочная функция с разрывом

В рассмотренном выше примере функция не имела разрыва в граничной точке (то есть, значения при \(x=-1\) были одинаковы и слева, и справа). Но так бывает не всегда.
Например, у функции \(y=\begin{cases}x+1,& при & x<0\\-x^2+2x+3, & при & x≥0\end{cases}\) есть разрыв в точке \(0\), потому что значение кусочков этой функции в граничной точке \(0\) не совпадает:
при \(x=0\) в первом кусочке, \(y(0)=0+1=1\);
при \(x=0\) во втором кусочке \(y(0)=-0^2+2\cdot 0+3=3\).
На графике это выглядит так:

кусочная функция прямая+парабола

Заметьте, что \(x=0\) включен во вторую часть функции (ведь ее область «икс больше или равен нулю), но не включен в первую (так как там «строго меньше нуля»). Поэтому граничную точку параболы мы закрашиваем, а линейной - выкалываем.



Смотрите также:
Все виды функций (шпаргалка)

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*