Производная

ЭЙ-ЭЙ, СТОЙТЕ!!! Куда вы побежали-то? Сейчас легко и просто всё объясню! Приготовьтесь, текста будет много. Зато понятно и наглядно. Так же в конце будут разобраны примеры из ЕГЭ.

Понятие производной на интервале

Пусть у нас есть некоторая линейная функция, определенная на промежутке \([a;b]\). Что значит слово «определенная»? Это значит, что для любого \(x\) из этого промежутка значений мы можем найти соответствующий \(y\) (смотрите, например, следующий график).

Возьмем на этом промежутке \([a;b]\) некоторое значение аргумента - \(x_A\). Ему соответствует точка \(A\) на графике и значение функции \(y_A\).

Теперь дадим выбранному значению \(x_A\) некоторое приращение \(∆x\). Эта запись - \(∆x\) - читается как «дельта икс» и означает величину изменения икса.
То есть мы увеличиваем значение \(x_A\) на \(∆x\). Тогда мы сдвинемся по оси \(x\) и попадем в некое \(x_B\) равное \(x_A+∆x\).
Очевидно, что «расстояние» между \(x_B\) и \(x_A\) равно как раз \(∆x\) (см. график), то есть приращению аргумента. И это приращение аргумента есть «длина» интервала, который мы рассматриваем.

Значению аргумента \(x_B\) соответствует точка \(B\) на графике и значение функции \(y_B\).
Давайте обозначим «расстояние» между \(y_B\) и \(y_A\) как некоторое \(∆y\) (аналогично тому, как это было сделано на оси \(x\)).
Что такое \(∆y\)? Подумайте – был аргумент равный \(x_A\), ему соответствовало значение функции \(y_A\). Потом мы аргумент увеличили на \(∆x\) (до \(x_B\)), при этом значение функции тоже выросло до \(y_B\). Что такое тогда \(∆y\) равное разности между \(y_B\) и \(y_A\)? Верно, это приращение значения функции при соответствующем приращении аргумента!

Так вот - если мы теперь разделим \(∆y\) на \(∆x\), то получим производную функции на интервале \(∆x\) (от \(x_A\) до \(x_B\)). В этом суть понятия «производная» на интервале – это просто число, которое получится, если поделить длину отрезка ∆y на длину соответствующего ему отрезка \(∆x\).

Внимание! Это определение не математически строгое, а «по смыслу», для понимания.

То есть, производная на интервале показывает насколько сильно изменилась функция по отношению к некоторому изменению аргумента этой функции. Или по-другому: производная на интервале характеризует скорость роста функции на этом интервале.

Действительно, посмотрите два графика ниже.

       

На первом графике при росте аргумента с \(3\) до \(4\), функция выросла с \(1\) до \(4\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=4-3=1\),
\(∆y=y_B-y_A=4-1=3\),
т.е. значение производной на интервале \((3;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{3}{1}=3\)

На втором графике при росте аргумента с \(3\) до \(4\), функция выросла с \(2\) до \(3\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=4-3=1\),
\(∆y=y_B-y_A=4-1=3\),
т.е. значение производной на интервале \((3;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{1}{1}=1.\)

Легко заметить, что график слева «круче», а график справа – более «пологий», т.е. \(f(x)\) растет быстрее, чем \(g(x)\). И производная слева – больше, чем справа. Это логично, ведь фактически производная – это дробь \(\frac{∆y}{∆x}\), а если числитель дроби увеличить, то и значение всей дроби тоже растет.

Хорошо, теперь вопрос на засыпку тем, кто читал внимательно. А что будет с производной, если график линейной функции падает?
Давайте рассмотрим эту ситуацию.

Функция \(f(x)\) падает, то есть при росте аргумента, значение функции становиться все меньше.
Действительно, при росте аргумента с \(2\) до \(3\), функция упала с \(4\) до \(1\). Значит, \(∆x=x_B-x_A=3-2=1\),
\(∆y=y_B-y_A=1-4=-3\).
Тогда значение производной на интервале \((3;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{-3}{1}=-3\).

То есть, если функция на интервале падает – производная станет отрицательна.
Причем, чем круче падает функция, тем больше по модулю будет значение производной. Посмотрите на графики ниже, и вы в этом сами убедитесь.

       

На первом графике при росте аргумента с \(2\) до \(3\), функция упала с \(4\) до \(1\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=3-2=1\),
\(∆y=y_B-y_A=1-4=-3\),
т.е. значение производной на интервале \((2;3)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{-3}{1}=-3\).

На втором графике при росте аргумента с \(2\) до \(3\), функция упала с \(2\) до \(1\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=3-2=1\),
\(∆y=y_B-y_A=1-2=-1\),
т.е. значение производной на интервале \((2;3)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{-1}{1}=-1\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию - а если функция в точке не возрастает и не убывает? Что будет с производной в этом случае? Смотрите график ниже.

Вот, например, функция, имеющая прямолинейный участок, параллельный оси \(x\) на интервале \((2;4)\). Понятно, что если мы рассмотрим этот интервал, то изменение функции \(∆y\) на нем равно нулю, ведь на нем функция не растет и не падает и для любой точки равна \(2\).
И тогда производная равна \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{0}{∆x}=0\).

Понятие производной в точке

Хорошо, мы разобрали производную на интервале для линейной функции. А если функция отличается от прямой?

Первый порыв ответить: «да какая разница, делаем также!» - неверен. Дело в том, что на прямой была не важна длина рассматриваемого интервала, ведь для неё значение производной – постоянная величина на любом интервале. Смотрите на график ниже:

Если мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(4\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(3\). То есть, \(∆x=4-2=2\), \(∆y=3-1=2\), т.е. значение производной на интервале \((2;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{2}{2}=1\).

Если мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(3\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(2\). То есть, \(∆x=3-2=1\), \(∆y=2-1=1\), т.е. значение производной на интервале \((2;3)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{1}{1}=1\).

И на любом другом интервале будет тоже самое - и на \((2;5)\), и на \((3;4)\), и на \((3;5)\) – производная везде равна \(1\). Это и логично, ведь скорость роста функции везде одинакова.

Теперь давайте посмотрим график некоторой нелинейной функции.

Если мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(5\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(4\). То есть, \(∆x=5-2=3\), \(∆y=4-1=3\), т.е. значение производной на интервале \((2;5)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{3}{3}=1\).

Если же мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(4\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(2\). То есть, \(∆x=4-2=2\), \(∆y=2-1=1\), т.е. значение производной на интервале \((2;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{1}{2}=0,5\).

Получается, что значение производной изменяется в зависимости от ширины рассматриваемого интервала. Чтобы выйти из этой ситуации и при этом сохранить все вышеописанную логику, математики придумали следующую хитрость.

Дело в том, что при увеличении масштаба график любой нелинейной функции становится все больше похож на линейный.

Вот, например, график параболы \(y=x^2\), построенный на компьютере с высокой точностью, на интервале от \(-5\) до \(5\). Видно, что график ну очень далек от прямой.

А если рассмотреть тот же график, но на более узком интервале?

Вот тот же график, но уже на интервале от \(0\) до \(2\). Видно, что он изрядно «распрямился».

А вот он же на интервале от \(1\) до \(1,1\). Визуально он уже мало отличается от прямой, хотя на самом деле очень небольшое искривление все же есть. Понятно, что если сжимать интервал еще сильнее, то вскоре график будет практически неотличим от прямой.

Таким образом, вся вышеописанная логика вполне применима и для нелинейных графиков, но только на очень маленьких интервалах. А что мы получим, если будем БЕСКОНЕЧНО уменьшать ширину интервал? Мы будем сжимать его до точки. А что такое «ширина интервала»? Это ни что иное как \(∆x\)! Значит, чтобы найти производную в точке, мы должны посмотреть приращение функции на бесконечно малом (или, говоря более научно, стремящемся к нулю) приращении аргумента. Именно так в математике и вводится понятие производной в точке:

Таким образом, вся описанная выше логика дифференцирования линейных функций, применима для бесконечно малых участков функций нелинейных. Значит, и все сделанные ранее выводы будут верны. Например, если нелинейная функция в точке (точнее, на бесконечно малом интервале в окрестности этой точки) возрастает, то производная в точке будет положительна. А если функция в точке убывает - производная будет отрицательна.

Остается вопрос – а есть ли на нелинейных функциях точки, где производная равна нулю? Ответ – да, в точках экстремумов. Помните, что это за точки такие?

Напомню, что максимумом функции называется самая «высокая» точка на некотором интервале, а минимумом, соответственно, самая «низкая».

Вот, например, функция \(y=(x-5)^2 (x+1)-15\).Она имеет максимум при \(x=1\) и минимум при \(x=5\).
И в этих точках функция действительно не растет и не падает.
Давайте посмотрим на большем масштабе, чтобы в этом убедится.

Вот окрестность точки максимума \(x=1\) с очень маленьким шагом.

А это окрестность точки минимума \(x=5\) с очень маленьким шагом.

Думаю, комментарии излишни. Вообще говоря, чтобы понять, что в максимумах и минимумах функция «останавливается» достаточно просто внимательно об этом подумать.

Вдумайтесь, как образуется, допустим, максимум? Функция растет, растет, но после какой-то точки начинает падать. Значит, функция меняет «направление движения» на противоположное. Но это невозможно сделать без остановки! Попробуйте бежать в одну сторону, а потом взять и резко побежать в обратную (не просто повернуть, а именно в противоположную сторону). Вы в любом случае остановитесь при смене направления хоть на долю секунды. Также и функции. С минимумом - аналогично.

Таким образом, получается, что в окрестности точек минимума и максимума функция идет параллельно оси \(x\). И в них производная равна нулю. Слово «в окрестности», употребленное выше, означает «очень-очень близко возле точки». Например, промежуток \((1,99999; 2,00001)\) можно назвать окрестностью точки со значением \(2\).

Подведем итоги:

Эти принципы стоит запомнить (а еще лучше просто понять), потому что с их помощью можно решать огромное количество задач на производные, в том числе и из ЕГЭ.

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график функции, определенной на интервале \((-3;7)\). Определите количество целых точек, в которых производная данной функции отрицательна.

Решение: Начинаем анализировать. Где производная будет отрицательна? Там, где функция падает, то есть от точки А до точки В и от точки С до точки D.

При этом в задаче просят найти количество ЦЕЛЫХ точек. А что такое «целая точка»? Это такая точка графика, у которой икс целое число (например, \(-5\), \(0\) или \(17\), но не \(3,25\) или \(0,7\)).

То есть нам нужны именно такие точки на участках АВ и CD графика. Всего их четыре (обозначены на графике красным ромбом). Обратите внимание, что точка С в ответ не входит, так как это точка максимума и в ней производная равно \(0\), а ноль неотрицателен.

Ответ: 4.

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и отмечены точки \(−2\), \(1\), \(3\) и \(9\). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Решение: Давайте думать.
В точке с координатой \(-2\) функция убывает (падает), значит производная будет отрицательна (ведь она показывает, как раз изменение функции).
В точке с координатой \(1\) – функция медленно растет, значит производная будет, во-первых, положительна, а во-вторых, мала по значению (ведь рост медленный).
В точке с координатой \(3\) – максимум, значит функция не растет и не падает, следовательно, производная будет равна нулю.
И наконец, в точке \(9\) – функция растет и быстро (по крайней мере, быстрее, чем в точке \(1\)). Значит здесь производная положительна и велика.
Таким образом, с учетом всех предыдущих рассуждений, делаем вывод: наибольшее значение производной будет в точке \(9\).

Ответ: \(9\).

Довольно часто в практике попадаются обратные задачи – когда дан график производной, а анализировать надо график функции. Вот, например, такая задача из ЕГЭ:

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график \(y'(x)\) -производной для функции \(y(x)\). Найдите количество точек экстремумов функции \(y(x)\) на изображенном интервале.

Решение: Экстремумы – это точки минимумов и максимумов функции. Но у нас дан график производной, а не функции. А что происходит с производной в тех точках, где на функции минимум или максимум?
Верно, в этих точках производная равна нулю. Значит, нам нужны все точки, где значение производной ноль! Это точки А, B, C, D и Е. Всего их \(5\), это и есть ответ задачи.

Ответ: \(5\).

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график \(y'(x)\) - производной для функции \(y(x)\) определенной на интервале \((−7; 7)\). Найдите промежутки возрастания функции \(y(x)\). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение: Мы знаем, что если функция возрастает – производная положительна, а если падает – то отрицательна. Однако верно и обратное:
- если производная положительна – функция растет,
- если производная отрицательна – функция падает.
Исходя из этого становиться очевидно, что исходная функция \(y(x)\) возрастает на участках \((-5;-2)\) и \((1;6)\) – они выделены зеленым. И длина наибольшего из них равна \(5\).

Ответ: \(5\).