Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

1. Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:

   - Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a<0\), то ветви параболы направлены вниз.

   

   
   

   - Если \(a>1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

   
   

   
   

   - Аналогично с \(a<-1\), только график вытянут вниз.

   

   
   

   - Если \(a∈(0;1)\), то график сжат в \(a\) раз (по сравнению с «базовым» графиком с \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте.

   

   
   

   - Аналогично \(a∈(-1;0)\), только ветви направлены вниз.

   





2. Парабола пересекает ось y в точке \(c\).

   





3. \(b\) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью \(x_в\) - абсциссы (икса) вершины параболы:

   \(x_в=-\frac{b}{2a}\)
   \(b=-x_в\cdot 2a\)
   

Пример (ЕГЭ):

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут \(f(x)\), а где \(g(x)\). По коэффициенту \(c\) видно, что \(f(x)\) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке \(4\).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент \(c\) у неё равен \(1\).
Ветви параболы направлены вниз – значит \(a<0\). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит \(a=-1\).

Найдем \(b\). \(x_в=-2\), \(a=-1\).

\(x_в=-\frac{b}{2a}\)
\(-2=-\frac{b}{-2}\)
\(b=-4\)

Получается \(g(x)=-x^2-4x+1\). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

\(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4\)
\(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0\)
\(x^2-2x-3=0\)
\(D=4+4\cdot 3=16=4^2\)
\(x_1=\frac{2-4}{2}=-1\);    \(x_2=\frac{2+4}{2}=3\).

Ответ: \(3\).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:

   

2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.

   Пример: \(A(-4;5)\), \(B(-5;5)\), \(C(-6;3)\).

   \(\begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\\5=a(-5)^2+b(-5)+c\\3=a(-6)^2+b(-6)+c \end{cases}\)

3. Решаем систему.
   Пример:

   \(\begin{cases}5=16a-4b+c\\5=25a-5b+c\\3=36a-6b+c \end{cases}\)

   Вычтем из второго уравнения первое:

   \(0=9a-b\)
   \(b=9a\)

   Подставим \(9a\) вместо \(b\):

   \(\begin{cases}5=16a-36a+c\\5=25a-45a+c\\3=36a-54a+c \end{cases}\)
   \(\begin{cases}5=-20a+c\\5=-20a+c\\3=-18a+c \end{cases}\)

   Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

   \(2=-2a\)
   \(a=-1\)

   Найдем \(b\):

   \(b=-9\)

   Подставим в первое уравнение \(a\):

   \(5=20+c\)
   \(c=-15\).

   Получается квадратичная функция:   \(y=-x^2-9x-15\).

Пример (ЕГЭ):

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи). 

Таким образом имеем систему:

\(\begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\\2=a+b+4 \end{cases}\)

\(\begin{cases}8=a-b+4\\2=a+b+4 \end{cases}\)

\(\begin{cases}4=a-b\\-2=a+b \end{cases}\)

Сложим 2 уравнения:

\(2=2a\)
\(a=1\)

Подставим во второе уравнение:

\(-2=1+b\)
\(b=-3\)

Получается:

\(g(x)=x^2-3x+4\)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

\(-3x+13=x^2-3x+4\)
\(x^2-9=0\)
\(x=±3\)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

\(f(-3)=-3\cdot (-3)+13\)
\(f(-3)=9+13\)
\(f(-3)=22\)

Ответ:   \(22\).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа - вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

1. График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).

   

2. – Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
   – Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.

   

3. – График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
   - График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц. 

   

4. График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
   График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

   

У вас наверно остался вопрос - как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

\(y=x^2-10x+25-4\)
\(y=x^2-10x+21\)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

1. Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).

   

2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).
   

3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).
   

4. Получается \(y=-2(x^2-4x+4)+4=\)\(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4\).

5. \(f(6)=-2\cdot 6^2+8\cdot 6-4=-72+48-4=-28\)
   

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?