Как найти k и b по графику линейной функции?

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции, т.е. найти \(k\) и \(b\) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

В статье я расскажу про два простых способа найти \(k\) и \(b\), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

1. Линейная функция пересекает ось \(y\) в точке \(b\).
   Примеры:

   

   Но не советую определять так \(b\), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

   Примеры:

   





2. Если функция возрастает, то знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то \(k=0\).

   Примеры:

   

3. Чтоб конкретнее определить \(k\) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить \(k\) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.
   

   Примеры:

   

Пример (ЕГЭ)

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

\(b=3\) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит \(k<0\).

Достроим прямую до прямоугольного треугольника. Вершинами будут жирные точки, которые нам дали в задаче.

\(k=-\frac{AC}{BC}=-\frac{1}{3}\). Получается \(g(x)=-\frac{1}{3}x+3\).

Способ 1 быстрее способа 2, но не во всех ситуациях помогает. Поэтому важно владеть и вторым способом тоже.

Способ 2

Вы обращали внимание, что в задачах ЕГЭ на прямых всегда жирно выделяют 2 точки? Так вот, чтобы найти формулу линейной функции, достаточно подставить координаты этих точек в формулу \(f(x)=kx+b\) и решить получившуюся систему уравнений.

Пример (ЕГЭ)

Обозначим жирные точки какими-нибудь буквами и найдем их координаты.

\(A(-2;2)\) и \(B(2;-5)\) подставим эти значения вместо \(x\) и \(f(x)\) в формулу \(f(x)=kx+b\):

Получим:

\(\begin{cases}2=-2k+b\\-5=2k+b\end{cases}\)

Теперь найдем \(k\) и \(b\), решив эту систему.

Для этого сложим уравнения друг с другом, чтобы исчезло \(k\):

\(2+(-5)=-2k+b+2k+b\)
\(-3=2b\)
\(b=-1,5\)

Теперь подставим найденное \(b\) во второе уравнение системы и найдем \(k\):

\(-5=2k-1,5\)
\(-5+1,5=2k\)
\(-3,5=2k\)
\(k=-1,75\)

Получается \(f(x)=-1,75x-1,5\). Остается последний шаг – вычислим при каком иксе функция, то есть \(f(x)\), равна \(16\):

\(16=-1,75x-1,5\)
\(17,5=-1,75x\)
\(x=-10\).

Ответ: \(-10\).

Пример (ЕГЭ)

Чтоб решить задачу, нам понадобятся формулы каждой из двух функций. Давайте формулу нижней функции найдем с помощью способа 1, а формулу верхней с помощью способа 2. Начнем с нижней функции.

Функция \(f(x)\) возрастает, значит \(k>0\). \(k=+\frac{AC}{BC}=\frac{4}{4}=1,b=1\). \(f(x)=x+1\).

Теперь перейдем к функции \(g(x)\). Найдем координаты точек \(D\) и \(E\): \(D(-2;4)\), \(E(-4;1)\). Можно составить систему:

\(\begin{cases}4=-2k+b\\1=-4k+b\end{cases}\)

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать \(b\):

\(4-1=-2k+b-(-4k+b)\)
\(3=2k\)
\(k=1,5\)

Найдем \(b\):

\(4=-2\cdot 1,5+b\)
\(4=-3+b\)
\(b=7\)

\(g(x)=1,5x+7\). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем \(f(x)\) и \(g(x)\).

\(x+1=1,5x+7\)
\(x-1,5x=7-1\)
\(-0,5x=6\)
\(x=6:(-0,5)\)
\(x=-12\).

Ответ: \(-12\).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку "скачать статью".

Смотрите также:
Как определить a, b и c по графику параболы

Скачать статью