Как решить любую задачу? Часть 1. Алгебра

Обучение математике в школе построено по принципу «повторяй за мной». Учитель дает какой-то метод решения или некий алгоритм, а ученики с помощью этого метода решают задачи. Это похоже на то, как мастер обучает подмастерье. Мастер показывает инструменты и объясняет, что с их помощью можно делать - вот пила, ей отпиливают дерево. А вот рубанок – он нужен для того, чтобы придать отпиленному куску определенную форму. И использовав эти и другие инструменты можно сделать, например, табуретку. Так же в школе: для решения квадратных уравнений удобно пользоваться дискриминантом и теоремой Виета, для рациональных неравенства – хорошо подходит метод интервалов и т.д.

Это, конечно, достаточно эффективный способ обучения, но для того, чтобы набирать на ЕГЭ 80+ баллов этих навыков не хватит. Нужно нечто большое – нужно уметь понять, как решается задача, даже если не видел ничего аналогичного раньше. Это как по совершенно новому для тебя предмету догадаться какие инструменты нужно применить - «сделайте стол, столы вы еще не делали, но делали стулья».

Придумывать новое решение самостоятельно – это тоже навык, который надо развивать. Нужно привыкнуть не бояться нового, уметь задавать себе правильные вопросы и лояльно относиться к своим ошибкам. В этой статье я написала, что помогает лично мне и моим ученикам решать новые задачи.

Предупреждаю: это всё работает только если вы знаете необходимую теорию. То есть уметь отличать рубанок от ножовки всё-таки надо. :)

5 принципов которые помогут решить задачу:

Не знаешь, что делать – делай, что можешь. Некоторые преподаватели это правило еще формулируют так: «давайте что-нибудь сделаем, а потом подумаем». Новая задача потому и новая, что приступая к решению, ты понятия не имеешь как ее решать. Но почти всегда можно что-то записать по-другому, как-либо преобразовать, изменить. Попробуй, вдруг это верный шаг? Зачастую ученики даже не пытаются делать так, потому что не видят ответа на вопрос: «ну сделаю, а что дальше?». В этом смысле они похожи на водителей, которые ждут пока зеленый сигнал светофора загорится сразу вдоль всего маршрута - действительно, зачем ехать, ведь вон там впереди горит красный! Правильный подход тут, конечно же, иной – пока будешь ехать, сигнал, возможно, уже смениться на зеленый. Или нет. И тогда тебе поможет следующий принцип:

Не бойся «тупиков» - просто начинай решение заново, главное не сдаваться. Нет ничего плохого в том, чтоб решая задачу, пойти не тем путем даже десяток раз. Школьные учебники как-то незаметно приучают нас к тому, что решение должно быть прямое и четкое – «раз, два, три!», ведь в них оно записано именно так. А «муки поиска» решения всегда остаются за скобками, выбрасываются как лишнее, чтоб не захламлять суть. Вот и получается ситуация как на картинке.

Поэтому знай, что…

Задача не обязана решаться с «полпинка». И чем сложнее задача, тем больше тупиков ты обойдешь перед решением. И это хорошо! Главное помни: «прогулки по тупикам» - не пустая трата времени и не потери! Как раз наоборот - в такие моменты ты развиваешь мозги сильнее всего. Когда ты ищешь новое решение, у тебя прямо в этот момент формируются в мозгу новые нейронные связи, и ты в буквальном смысле становишься умнее. Более того, вот этот поиск неведомого решения - на самом деле и есть настоящая математика! Да-да, для кого-то это будет новостью, но математика это не когда ты быстренько подставляешь «цифирьки в формулки» и тут же считаешь ответы, решая задачи по аналогии, а когда ты долго-долго перебираешь разные методы решений, пробуешь применить различные идеи, крутишь задачу так и сяк, и в какой-то момент тебя озаряет, и ты находишь путь, ведущий к ответу. А в поиске этих озарений тебе поможет принцип…

Случайности не случайны. Если ты заметил какое-то совпадение, то, возможно, это не совпадение, а вполне себе ключ к решению. Все переменные стоят внутри одинаковых выражений? У логарифмов совпадают основания? Или все знаменатели дробей являются квадратами друг друга? Подумай - как это можно использовать? Подробнее об этом поговорим ниже.

Если закрыта одна дверь, открыта другая. Не циклись на одной мысли. Возможно, к решению можно подойти вообще с другой стороны. Но перед тем как зачеркивать очередную попытку решения – внимательно проверь, может быть ты просто сделал в нем какую-то простенькую ошибку и поэтому не получается дорешать до конца?

8 вопросов, которые помогут решить почти любое задание в алгебре

Решая задачу, мы ищем ответ на вопрос задания – нужное значение переменной, интервал решений или еще что-то в этом роде. И чтобы прийти к ответу на этот главный вопрос нужно уметь задавать себе промежуточные, опорные вопросы, которые могут натолкнуть на правильный путь рассуждений. Вот эти вопросы:

1. Что передо мной (уравнение, неравенство, выражение)? Как обычно решается такой тип задач?

Пример 1: Решите неравенство \(x^2≤100\)

- Что передо мной?
- Квадратное неравенство.

- Как решаются квадратные неравенства?
- Методом интервалов.

\(x^2-100≤0\)
\((x-10)(x+10)≤0\)

\(x∈[-10;10]\)

Пример 2: Решите уравнение \(\cos⁡\)\(\frac{π(x-7)}{3}\)\(=\) \(\frac{1}{2}\)
- Что передо мной?
- Простейшее тригонометрическое уравнение.

- Как решаются такие уравнения?
- Через круг:

\(\frac{π(x-7)}{3}\)\(=±\) \(\frac{π}{3}\)\(+2πn,n∈Z\)

- А теперь что передо мной?
- Хм… Выглядит странно, но похоже на линейное уравнение, так как тут только одна переменная (\(x\)) и она в первой степени.

- Как решаются линейные уравнения?
- Нужно избавиться от знаменателей, раскрыть все скобки и перенести известные вправо, а неизвестные влево, в общем, привести уравнение к виду \(x=[число]\).

\(\frac{π(x-7)}{3}\)\(=±\) \(\frac{π}{3}\)\(+2πn\)    \(|·3\)            \(n∈Z\)
\(π(x-7)=±π+6πn\)      \(|:π\)        
\(x-7=±1+6n\)                 
\(x=7±1+6n\)                   
\(x=8+6n;\)            \(x=6+6n;\)            \(n∈Z\)

2. Решал ли я похожие задачи? Как я их решал?

Пример 3: Решите уравнение \(2 \cos^3⁡x-\cos^2⁡x+2 \cos⁡x-1=0\)

- Что передо мной?
- Тригонометрическое уравнение (не простейшее).

- Как обычно решаются тригонометрические уравнения?
- Уравнение преобразовывается с помощью формул, пока невозможно будет сделать замену. Очевидно, что тут сразу можно сделать замену.

\(2t^3-t^2+2t-1=0\)

Получилось кубическое уравнение.

- Решал ли я похожие задачи? Как я их решал?
- Обычно кубические уравнения я решал либо методом группировки, либо делением многочлена на многочлен.

\(t^2 (2t-1)+2t-1=0\)
\((2t-1)(t^2+1)=0\) \(|:t^2+1\)
\(t=\) \(\frac{1}{2}\) И т.д.

3. Какие формулы я вижу / какие формулы можно применить? Что надо сделать, чтоб их можно было применить?

Пример 4: Решите уравнение \(\cos⁡2x=\sin⁡(x+\frac{π}{2})\).

- Какие формулы можно применить?
- Формулу двойного угла косинуса и формулу приведения:

\(2\cos^2 x-1=\cos⁡x\)
\(2\cos^2 x-\cos⁡x-1=0\)
\(2t^2-t-1=0\)

И т.д.

Пример 5: Вычислите \(\frac{-10 \sin⁡97^° \cdot \cos⁡97^° }{\sin⁡194^°}\)

- Какие формулы я тут вижу?
- Полностью – никаких. Но вот такое же произведение синус на косинус есть в формуле двойного угла синуса:

\(\sin⁡2x=2 \sin⁡x \cos⁡x\).

- Но не хватает двойки, что можно сделать, чтобы 2 появилась?
- Разложить 10 на множители: \(\frac{-5\cdot 2 \sin⁡97^° \cdot \cos⁡97^° }{\sin⁡194^°}\) \(=\) \(\frac{-5\sin⁡ 2\cdot97^° }{\sin⁡194^°}\) \(=\) \(\frac{-5\sin⁡194^°}{\sin⁡194^°}\)\(=-5\).

4. Какие «неслучайности» я вижу? Как их можно использовать?

Пример 6: Решите уравнение \((4x-8)^2 (x-8)=(4x-8) (x-8)^2\)

- Какие «неслучайности» я вижу?
- Очевидно, что выражения \((4x-8)\) и \((x-8)\) с той и другой стороны – это неспроста.

- Как их можно использовать?
- Поделить на эти выражения нельзя. Можно попробовать перенести то, что стоит справа в левую часть.

\((4x-8)^2 (x-8)-(4x-8) (x-8)^2=0\)

Теперь можно одинаковые выражения вынести за скобку.

\((4x-8)(x-8)((4x-8)-(x-8))=0\)
\((4x-8)(x-8)(4x-8-x+8)=0\)
\((4x-8)(x-8)(3x)=0\)
И т.д.

Пример 7: Решите уравнение \(\frac{3^{x^2 }}{9^x}\)\( =27\)

- Какие «не случайности» можно заметить?
- И \(9\), и \(27\) являются степенями тройки: \(3^2=9\), \(3^3=27\).

- Как это можно использовать?
- Можно заменить \(9\) на \(3^2\), а \(27\) на\( 3^3\), вот так:

\(\frac{3^{x^2 }}{(3^2 )^x}\)\( =3^3\)

А теперь можно применить свойство степеней: \((a^n)^m=a^{n\cdot m}\), \(\frac{a^n}{a^m}\)\( =a^{n-m}\).

\(\frac{3^{x^2 }}{3^{2x}}\)\( =3^3\)
\(3^{x^2-2x}=3^3\)
\(x^2-2x=3\)
И т.д.

5. Что я в принципе могу сделать? Какие преобразования допустимы/возможны?

Пример 8: Найдите значение выражения \(\sqrt{32}-\sqrt{128} \sin^2\frac{7π}{8}\)

- Что можно сделать с этим выражением?
- Можно вынести множители из-под знака корня.

\(=\sqrt{16\cdot2}-\sqrt{64\cdot2}\sin^2⁡\sqrt{7π}{8}=4\sqrt{2}-8\sqrt{2}\sin^2⁡\frac{7π}{8}=\)

- Какие еще преобразования здесь возможны?
- Можно вынести за скобки \(4\sqrt{2}\).

\(=4\sqrt{2}(1-2 \sin^2⁡{\frac{7π}{8}})=\)

- Что еще можно сделать?
- Применить формулу двойного угла \(\cos⁡2α=1-2\sin^2⁡α \)

\(=4\sqrt{2}\cos⁡(2\cdot\frac{7π}{8})=\)\(4\sqrt{2}\cos⁡\frac{7π}{4}=\)\(4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\) \(\frac{4\cdot 2}{2}\)\(=4\)

6. Что мне мешает? Как можно сделать выражение/уравнение/неравенство проще? Как мне было бы удобнее? Что я могу сделать, чтоб стало удобнее?

Пример 9: Решите уравнение \(\sqrt{\frac{6}{4x-54}}\)\(=\)\(\frac{1}{7}\)

- Как можно сделать уравнение сильно проще?
- Если избавиться от корня, то уравнение станет проще.

- Как можно избавиться от корня?
- Можно возвести обе части уравнения в квадрат.

\((\sqrt{\frac{6}{4x-54}})^2\)\(=\)\((\frac{1}{7})^2\)
\(\frac{6}{4x-54}\)\(=\)\(\frac{1}{49}\)

- Как можно упростить уравнение?
- Можно избавиться от знаменателя.

- Как обычно избавляются от знаменателя?
- Умножением обеих частей уравнения на наименьший общий знаменатель.

                  \(\frac{6}{4x-54}\)\(=\)\(\frac{1}{49}\)      \(|\cdot49(4x-54)\)           
\(6\cdot 49=4x-54\)              
\(-4x=-54-294\)              
\(-4x=-348\)             
\(x=87\)            

Пример 10: Решите неравенство \(\log_{x+6}⁡(\frac{x-4}{x})^2 +\log_{x+6}⁡\frac{x}{x-4}≤1\)

- Как было бы удобнее?
- Было бы удобнее, чтоб аргументы у логарифмов были одинаковые.

- Что надо сделать, чтоб аргументы у логарифмов были одинаковые?
- Вынести квадрат вперед и каким-то образом перевернуть дробь.

\(2\log_{x+6}⁡(\frac{x-4}{x}) +\log_{x+6}⁡\frac{x}{x-4}≤1\)

- Как можно перевернуть дробь?
- Можно использовать степень \(-1\).

\(2\log_{x+6}⁡(\frac{x}{x-4})^{-1} +\log_{x+6}⁡\frac{x}{x-4}≤1\)
\(-2\log_{x+6}⁡(\frac{x}{x-4}) +\log_{x+6}⁡\frac{x}{x-4}≤1\)

- Что можно сделать теперь?
- Логарифмы полностью одинаковые значит можно либо сделать замену, либо вынести их за скобку.

\(-2\log_{x+6}⁡(\frac{x}{x-4}) +\log_{x+6}⁡\frac{x}{x-4}≤1\)
\(\log_{x+6}\frac{x}{x-4} (-2+1)≤1\)
\(-\log_{x+6}⁡\frac{x}{x-4}≤1\)
И т.д.

7. Чего от меня хочет задача? Когда будет выполняться условие задачи?

Пример 11: Решите неравенство \(\frac{x-3}{x-1}\)\(>0\)

Допустим, вы никогда не сталкивались с дробными неравенствами или забыли, как их решать. Давай просто порассуждаем.

- Чего от меня хочет задача?
- Чтоб левая часть была положительна.

- А в каком случае дробь (не именно эта, а вообще любая) будет больше нуля? Короче говоря, когда мы делением получим знак плюс?
- Когда будем делить положительное на положительное, либо отрицательное на отрицательное. Иными словами - числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак (и при этом знаменатель не равен нулю).

- А когда будет положителен числитель?
- Когда икс больше трех. Если же икс меньше трех, то числитель будет иметь знак минус.

- Тот же вопрос про знаменатель?
- Знаменатель положителен при иксе большем \(1\), и отрицателен при иксе меньше \(1\).

- Так когда же будет выполняться условие задачи?
- При иксе большем \(3\) (там в дроби и сверху и снизу плюс) и при иксе меньше \(1\) (в этом случае и числитель, и знаменатель имеют знак минус).

\(x∈(-∞;1)∪(3;∞)\)

Всё, неравенство решено. Заметим, что рассказанное выше - это логическая «начинка» метода интервалов. Помните такой? «Приравняйте к нулю, найдите корни нанесите их на числовую ось, расставьте знаки…» Вот он.

Пример 12: Решить уравнение \((x-2)^2+(x^2-4)^2=0\)

- Чего от меня хочет задача?
- Чтоб я нашел такие иксы, при которых слева – ноль.

- А что у нас стоит слева?
- Сумма двух квадратов.

- В каком случае сумма квадратов будет равняться нулю?
- Хм… Квадрат не может быть отрицательным, он всегда больше либо равен нуля. А мы складываем два таких выражения. Значит, нам нужны такие иксы, при которых оба квадрата ОДНОВРЕМЕННО обратятся в ноль, потому что в остальных случаях сумма будет больше нуля.

\(\begin{cases}(x-2)^2=0\\(x^2-4)^2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x-2=0\\x^2-4=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=2\\(x-2)(x+2)=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=2\\(x-2)(x+2)=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=2\\ {\left[{{\begin{gathered} x=2\\ x=-2\end{gathered}}}\right.}\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(x=2\)

8. Могу ли я сделать какую-нибудь замену?

Пример 13: Решите неравенство \((\frac{x-4}{2}\)\(+\)\(\frac{2}{x-4})^2\)\(≤\)\(\frac{25}{4}\)

- (вспоминаем предыдущие пункты) Какие неслучайности я вижу?
- В скобке вторая дробь – это перевернутая первая.

- Как это можно использовать?
- Ну…

- Могу ли я сделать какую-либо замену?
- Да, можно заменить \(\frac{x-4}{2}\) на \(t\). Тогда вторая дробь будет \(\frac{1}{t}\).

\((t+\)\(\frac{1}{t}\)\()^2≤\)\(\frac{25}{4}\)

- Какие преобразования тут возможны в принципе?
- О! Можно перенести всё влево и разложить на множители по формуле разности квадратов!

\((t+\)\(\frac{1}{t})\)\(^2-\)\(\frac{25}{4}\)\(≤0\)
\((t+\)\(\frac{1}{t}\)\(-\)\(\frac{5}{2}\)\()(t+\)\(\frac{1}{t}\)\(+\)\(\frac{5}{2}\)\()≤0\)

- Что можно теперь сделать?
- Можно привести выражения в скобках к общему знаменателю.

\((\frac{2t^2+2-5t}{2t}\frac{2t^2+2+5t}{2t})\)\(≤0\)
\(\frac{(2t^2-5t+2)(2t^2+5t+2)}{4t^2 }\)\(≤0\)
И т.д.

Итого: приучайтесь рассуждать в математике. Не мыслите шаблонами, а ищите путь. И написанные выше вопросы вам в этом помогут. Успешных решений!