Решение всех тригонометрических выражений из 6 задания ЕГЭ

Пример №1. Найдите значение выражения \(-18\sqrt{2}\sin⁡(-135^°)\).

Решение

\(-135^°=-90^°-45^°\)

пример нахождение синуса и косинуса -135 прям на экзамене

Получается \(-18\sqrt{2} \sin⁡(-135^° )=-18\sqrt{2}\cdot-\frac{\sqrt{2}}{2}=\)\(\frac{18\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=9\cdot 2=18.\)
Ответ: \(18\).



Пример №2. Найдите значение выражения \(54\sqrt{3}\cos⁡(510^°)\).

Решение

\(510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.\)

пример нахождение синуса и косинуса 510 градусов на егэ

\(54\sqrt{3}\cos⁡(510^°)=54\sqrt{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\)\(-\frac{54\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=-27\cdot 3=-81.\)
Ответ: \(-81\).



Пример №3. Найдите значение выражения \(24\sqrt{2}\,\cos⁡(-\frac{π}{3})\,\sin⁡(-\frac{π}{4})\).

Решение

\(24\sqrt{2}\,\cos⁡(-\frac{π}{3})\,\sin⁡(-\frac{π}{4})=\)\(-24\sqrt{2}\,\cos⁡\frac{π}{3}\,\sin⁡\frac{π}{4}\).

косинус пи на 3, синус пи на4

Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) принимает наименьшее т.е. \(\cos\,⁡\frac{π}{3}=\frac{1}{2}\). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. \(\sin⁡\,\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Получается:

\(-24\sqrt{2}\,\cos⁡\frac{π}{3}\,\sin⁡\frac{π}{4}=-24\sqrt{2}\cdot\)\(\frac{1}{2}\)\(\cdot\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(=\)\(\frac{-24\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{4}\)\(=\)\(\frac{-24\cdot 2}{4}\)\(=-6\cdot2=-12\)

Ответ: \(-12\).



Пример №4. Найдите значение выражения \(\frac{8}{\sin⁡(-\frac{27π}{4}) \cos⁡(\frac{31π}{4})}\) .

Решение

\(-\frac{27π}{4}=-\frac{28π}{4}+\frac{π}{4}=-7π+\frac{π}{4}\).
\(\frac{31π}{4}=\frac{32π}{4}-\frac{π}{4}=8π-\frac{π}{4}\).

как рисовать тригонометрический круг

\(\sin⁡(-\frac{27π}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\),      \(\cos⁡(\frac{31π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\frac{8}{\sin⁡(-\frac{27π}{4}) \cos⁡(\frac{31π}{4})}\)\(=\) \(\frac{ 8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}\)\(=-8:\frac{2}{4}=-8\cdot\frac{2}{1}=-16\).

Ответ: \(-16\).



Пример №5. Найдите значение выражения \(44\sqrt{3}\,tg\,(-480^° )\).

Решение

\(44\sqrt{3}\,tg(-480^° )=-44\sqrt{3}\,tg(480^° )=\)\(-44\sqrt{3}\,tg(360^°+120^° )=\)\(-44\sqrt{3}\,tg(360^°+90^°+30^°)\).

Находим \(480^°\) на окружности:

тангенс 480 градусов

Соединяем точку, соответствующую \(480^°\) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:

тангенс 480 градусов

Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса.
Значит, \(tg(480^° )=-\sqrt{3}\).
В итоге имеем: \(44\sqrt{3} tg(-480^° )=-44\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=\)\(44\cdot 3=132\).
Ответ: \(132\).



Пример №6. Найдите значение выражения \(2\sqrt{3} tg\,(-300^°)\).

Решение

\(-300^°=-360^°+60^°\).

вычисляем тангенс и котангенс -300 градусов

\(2\sqrt{3}tg(-300^° )=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=2\cdot 3=6\).
Ответ: \(6\).




Пример №7. Найдите значение выражения \(36\sqrt{6}\, tg\,\frac{π}{6} sin⁡\,\frac{π}{4}\).

Решение

решенеие задания из ЕГЭ

\(36\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{36\sqrt{6}\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{18\sqrt{4}}{1}=18\cdot2=36\).

Ответ: \(36\).



Пример №8. Найдите \(5\sin⁡α\), если \(\cosα=\frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\).

Решение

Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

\(\sin^2α+\cos^2⁡α=1\).

Подставим вместо косинуса его значение:

\(\sin^2⁡α+\)\((\frac{2\sqrt{6}}{5})\)\(^2=1\)
\(\sin^2⁡α+\)\(\frac{4\cdot 6}{25}\)\(=1\)
\(\sin^2⁡α+\)\(\frac{24}{25}\)\(=1\)
\(\sin^2⁡α=1-\)\(\frac{24}{25}\)
\(\sin^2⁡α=\)\(\frac{1}{25}\)
\(\sin⁡α=±\)\(\frac{1}{5}\)

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида \(x^2=a\) (при \(a>0\)) два корня \(x_1=\sqrt{a}\)  и \(x_2=-\sqrt{a}\). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение \(\frac{1}{5}\), а может \(-\)\(\frac{1}{5}\). И какое значение нам надо выбрать - с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок \((\frac{3π}{2};2π)\).

от 3пи на 2 до 2 пи

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

определяем знак синуса в четвертой четверти

Значит, в нашем случае \(\sinα=-\frac{1}{5}\) т.е. \(5\sin⁡α=5\cdot(-\frac{1}{5})=-1\).

Ответ: \(-1\).



Пример №9. Найдите \(tg\,α\), если \(cos\,⁡α=\)\(\frac{\sqrt{10}}{10}\) и \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\). 

Решение

Есть 2 пути решения этой задачи:

- напрямую вычислить тангенс через формулу \(tg^2α+1=\)\(\frac{1}{cos^2⁡α}\);
- сначала с помощью тождества \(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1\) найти \(sin⁡\,α\), а потом через формулу \(tg\,α=\)\(\frac{sin⁡\,α}{cos⁡\,α}\) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Вычисляем синус:

\(sin^2⁡α+\)\((\frac{\sqrt{10}}{10})^2\)\(=1\)
\(sin^2⁡α+\)\(\frac{10}{100}\)\(=1\)
\(sin^2⁡α+\)\(\frac{1}{10}\)\(=1\)
\(sin^2⁡α=1-\)\(\frac{1}{10}\)
\(sin^2⁡α=\)\(\frac{9}{10}\);
\(sin⁡\,α=±\)\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)

Опять \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\), значит в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, \(sin⁡\,α=-\)\(\frac{3}{\sqrt{10}}\).
А теперь вычисляем тангенс: \(tg\,α=-\)\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)\(:\)\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)\(=\)\(-\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot\frac{10}{\sqrt{10}}\)\(=-\)\(\frac{30}{10}\)\(=-3\).

Ответ: \(-3\).



Пример №10. Найдите \(tg^2 α\), если \(5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\).

Решение

Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве \(5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\) синус заменим на косинус:

\(5(1-cos^2⁡α)+13 cos^2⁡α=6\)
\(5-5 cos^2⁡α+13 cos^2⁡α=6\)
\(5+8 cos^2⁡α=6\)
\(8 cos^2⁡α=1\)
\(cos^2⁡α=\)\(\frac{1}{8}\)

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения \(tg^2α\) хорошо подходит формула \(tg^2α+1=\)\(\frac{1}{cos^2⁡α}\) :

\(tg^2 α+1=1:\)\(\frac{1}{8}\)
\(tg^2 α+1=1\cdot\)\(\frac{8}{1}\)
\(tg^2 α+1=8\)
\(tg^2 α=7\)

Ответ: \(7\).



Пример №11. Найдите \(\frac{2cos\,α-7sin\,α}{2sin\,α-2cos\,α}\), если \(tg\,⁡α=2\).

Решение

решение сложной 9 задачи ЕГЭ



Пример №12. Найдите \(tg\,⁡α\), если \(\frac{2cos\,α+4sin\,α}{5sin\,α-16cos\,α}\)\(=1\).

Решение

Найдите tg если известна дробь



Пример №13. Найдите значение выражения \(\frac{18 \cos {⁡{41}^°} }{\sin⁡ {{49}^°}}\).

Решение

Решение задач на формулы приведения





Пример №14. Найдите значение выражения \(\frac{5 tg {⁡{163}^°} }{tg {{17}^°}}\).

Решение

формула приведения для тангенса



Пример №15. Найдите значение выражения \(-19\,tg\,101^°\cdot tg\,191^°\).

Решение

задача на формулы приведения и формулы связи



Пример №16. Найдите значение выражения \(\frac{-12}{\sin^2{⁡131^°} + \sin^2⁡{221^°} }\).

Решение

решение задачи из ЕГЭ на формулу приведения и основное тригонометрическое тождество



Пример №17. Найдите \(26\cos⁡(\frac{3π}{2}+α)\), если \(\cos⁡α=\frac{12}{13}\) и \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\).

Решение:

Очевидно, что к исходному выражению можно применить формулу приведения \(26\cos⁡(\frac{3π}{2}+α)=26\sin⁡α\). Задача свелась к нахождению синуса по косинусу, много похожих заданий было разобрано в статье «формулы связи».

\(\sin^2⁡α+\cos^2⁡α=1\)
\(\sin^2⁡α+(\frac{12}{13})^2=1\)
\(\sin^2⁡α+\frac{144}{169}=1\)
\(\sin^2⁡α=1-\frac{144}{169}\)
\(\sin^2⁡α=\frac{169-144}{169}\)
\(\sin^2⁡α=\frac{25}{169}\)
\(\sin⁡\,α=±\frac{5}{13}\)

С учетом того, что \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\), то есть в четвертой четверти, \(\sin\,⁡α=-\frac{5}{13}\).

\(26\cos⁡(\frac{3π}{2}+α)=26\sin⁡α=26\cdot (-\frac{5}{13})=-\frac{26\cdot 5}{13}=-2\cdot 5=-10\).

Ответ:  \(-10\).



Пример №18. Вычислить, чему равен \(ctg\,(-a-\frac{7π}{2})\), если \(tg⁡\,a=2\).

Решение:

формулы приведения котангенса



Пример №19. Найдите значение выражения \(\frac{12 \sin⁡11^° \cdot\,\cos⁡11^°}{\sin ⁡22^° }\).

Решение

решение задачи из егэ на формулу двойного угла


Пример №20. Найдите значение выражения \(\sin{\frac{23π}{12}}\cos{\frac{23π}{12}}\).

Решение

произведение синуса и косинуса



Пример №21. Найдите значение выражения \(\sqrt{3}\cos^2\frac{5π}{12}-\sqrt{3}\sin^2\frac{5π}{12}\).

Решение

\(\sqrt{3}\cos^2\frac{5π}{12}-\sqrt{3}\sin^2\frac{5π}{12}=\sqrt{3}(\cos^2\frac{5π}{12}-\sin^2\frac{5π}{12})=\sqrt{3}\cos(2\cdot\frac{5π}{12})=\sqrt{3}\cos\frac{5π}{6}\)

Вычислим \(\cos⁡\frac{5π}{6}\) с помощью тригонометрического круга. Сначала найдем \(\frac{5π}{6}\) на круге:

\(\frac{5π}{6}=\frac{6π-π}{6}=π-\frac{π}{6}\)

формулы двойного угла.jpg

Теперь видно, что \(\cos⁡\frac{5π}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sqrt{3}\cos⁡ \frac{5π}{6}=\sqrt{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3}{2}=-1,5\).



Пример №22. Найдите значение выражения \(\frac{24(\sin^2 17^°- \cos^2⁡ 17^°)}{\cos⁡34^°}\).

Решение

Задача на формулу двойного угла



Пример №23. Найдите \(16\cos2α\), если \(\cosα=\frac{3}{4}\).

Решение

9 задача - решение (3).png



Пример №24. Найдите значение выражения \(\frac{7\sin6α}{5\cos⁡3α}\), если \(\sin3α=0,2\).

Решение

9 задача - решение (4).png



Пример №25. Найдите значение выражения \(\frac{5\sin98^°}{\sin⁡49^°\sin41^°}\).

Решение

Задача на формулу приведения и двойного угла



Пример №26. Найдите значение выражения \(\sqrt{12}\cos^2⁡\frac{5π}{12}-\sqrt{3}\).

Решение

задача на формулу двойного угла



Пример №27. Найдите значение выражения \(\sqrt{32}⁡-\sqrt{128}\sin^2\frac{7π}{8}\).

Решение

решение задачи из егэ с помощью формулы половинного угла



Хочу задать вопрос

*