Решение всех тригонометрических выражений из 6 задания ЕГЭ
Решение
\(-135^°=-90^°-45^°\)
Получается \(-18\sqrt{2} \sin(-135^° )=-18\sqrt{2}\cdot-\frac{\sqrt{2}}{2}=\)\(\frac{18\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=9\cdot 2=18.\)
Ответ: \(18\).
Пример №2. Найдите значение выражения \(54\sqrt{3}\cos(510^°)\).
Решение
\(54\sqrt{3}\cos(510^°)=54\sqrt{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\)\(-\frac{54\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=-27\cdot 3=-81.\)
Ответ: \(-81\).
Пример №3. Найдите значение выражения \(24\sqrt{2}\,\cos(-\frac{π}{3})\,\sin(-\frac{π}{4})\).
Решение
Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) принимает наименьшее т.е. \(\cos\,\frac{π}{3}=\frac{1}{2}\). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. \(\sin\,\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Получается:
\(-24\sqrt{2}\,\cos\frac{π}{3}\,\sin\frac{π}{4}=-24\sqrt{2}\cdot\)\(\frac{1}{2}\)\(\cdot\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(=\)\(\frac{-24\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{4}\)\(=\)\(\frac{-24\cdot 2}{4}\)\(=-6\cdot2=-12\)
Ответ: \(-12\).
Пример №4. Найдите значение выражения \(\frac{8}{\sin(-\frac{27π}{4}) \cos(\frac{31π}{4})}\) .
Решение
\(-\frac{27π}{4}=-\frac{28π}{4}+\frac{π}{4}=-7π+\frac{π}{4}\).
\(\frac{31π}{4}=\frac{32π}{4}-\frac{π}{4}=8π-\frac{π}{4}\).
\(\sin(-\frac{27π}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(\frac{31π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\frac{8}{\sin(-\frac{27π}{4}) \cos(\frac{31π}{4})}\)\(=\) \(\frac{ 8}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}\)\(=-8:\frac{2}{4}=-8\cdot\frac{2}{1}=-16\).
Ответ: \(-16\).
Пример №5. Найдите значение выражения \(44\sqrt{3}\,tg\,(-480^° )\).
Решение
\(44\sqrt{3}\,tg(-480^° )=-44\sqrt{3}\,tg(480^° )=\)\(-44\sqrt{3}\,tg(360^°+120^° )=\)\(-44\sqrt{3}\,tg(360^°+90^°+30^°)\).
Находим \(480^°\) на окружности:
Соединяем точку, соответствующую \(480^°\) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:
Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса.
Значит, \(tg(480^° )=-\sqrt{3}\).
В итоге имеем: \(44\sqrt{3} tg(-480^° )=-44\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=\)\(44\cdot 3=132\).
Ответ: \(132\).
Пример №6. Найдите значение выражения \(2\sqrt{3} tg\,(-300^°)\).
Решение
\(-300^°=-360^°+60^°\).
\(2\sqrt{3}tg(-300^° )=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=2\cdot 3=6\).
Ответ: \(6\).
Пример №7. Найдите значение выражения \(36\sqrt{6}\, tg\,\frac{π}{6} sin\,\frac{π}{4}\).
Решение
\(36\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{36\sqrt{6}\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{18\sqrt{4}}{1}=18\cdot2=36\).
Ответ: \(36\).
Пример №8. Найдите \(5\sinα\), если \(\cosα=\frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\).
Решение
Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:
\(\sin^2α+\cos^2α=1\).
Подставим вместо косинуса его значение:
\(\sin^2α+\)\((\frac{2\sqrt{6}}{5})\)\(^2=1\)
\(\sin^2α+\)\(\frac{4\cdot 6}{25}\)\(=1\)
\(\sin^2α+\)\(\frac{24}{25}\)\(=1\)
\(\sin^2α=1-\)\(\frac{24}{25}\)
\(\sin^2α=\)\(\frac{1}{25}\)
\(\sinα=±\)\(\frac{1}{5}\)
Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида \(x^2=a\) (при \(a>0\)) два корня \(x_1=\sqrt{a}\) и \(x_2=-\sqrt{a}\). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»
Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение \(\frac{1}{5}\), а может \(-\)\(\frac{1}{5}\). И какое значение нам надо выбрать - с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок \((\frac{3π}{2};2π)\).
Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).
Значит, в нашем случае \(\sinα=-\frac{1}{5}\) т.е. \(5\sinα=5\cdot(-\frac{1}{5})=-1\).
Ответ: \(-1\).
Пример №9. Найдите \(tg\,α\), если \(cos\,α=\)\(\frac{\sqrt{10}}{10}\) и \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\).
Решение
- напрямую вычислить тангенс через формулу \(tg^2α+1=\)\(\frac{1}{cos^2α}\);
- сначала с помощью тождества \(sin^2α+cos^2α=1\) найти \(sin\,α\), а потом через формулу \(tg\,α=\)\(\frac{sin\,α}{cos\,α}\) получить тангенс.
В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.
Вычисляем синус:
\(sin^2α+\)\((\frac{\sqrt{10}}{10})^2\)\(=1\)
\(sin^2α+\)\(\frac{10}{100}\)\(=1\)
\(sin^2α+\)\(\frac{1}{10}\)\(=1\)
\(sin^2α=1-\)\(\frac{1}{10}\)
\(sin^2α=\)\(\frac{9}{10}\);
\(sin\,α=±\)\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)
Опять \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\), значит в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, \(sin\,α=-\)\(\frac{3}{\sqrt{10}}\).
А теперь вычисляем тангенс: \(tg\,α=-\)\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)\(:\)\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)\(=\)\(-\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot\frac{10}{\sqrt{10}}\)\(=-\)\(\frac{30}{10}\)\(=-3\).
Ответ: \(-3\).
Пример №10. Найдите \(tg^2 α\), если \(5 sin^2α+13 cos^2α=6\).
Решение
Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве \(5 sin^2α+13 cos^2α=6\) синус заменим на косинус:
\(5(1-cos^2α)+13 cos^2α=6\)
\(5-5 cos^2α+13 cos^2α=6\)
\(5+8 cos^2α=6\)
\(8 cos^2α=1\)
\(cos^2α=\)\(\frac{1}{8}\)
Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения \(tg^2α\) хорошо подходит формула \(tg^2α+1=\)\(\frac{1}{cos^2α}\) :
\(tg^2 α+1=1:\)\(\frac{1}{8}\)
\(tg^2 α+1=1\cdot\)\(\frac{8}{1}\)
\(tg^2 α+1=8\)
\(tg^2 α=7\)
Ответ: \(7\).
Пример №11. Найдите \(\frac{2cos\,α-7sin\,α}{2sin\,α-2cos\,α}\), если \(tg\,α=2\).
Решение
Пример №12. Найдите \(tg\,α\), если \(\frac{2cos\,α+4sin\,α}{5sin\,α-16cos\,α}\)\(=1\).
Решение
Пример №13. Найдите значение выражения \(\frac{18 \cos {{41}^°} }{\sin {{49}^°}}\).
Решение
Пример №14. Найдите значение выражения \(\frac{5 tg {{163}^°} }{tg {{17}^°}}\).
Решение
Пример №15. Найдите значение выражения \(-19\,tg\,101^°\cdot tg\,191^°\).
Решение
Пример №16. Найдите значение выражения \(\frac{-12}{\sin^2{131^°} + \sin^2{221^°} }\).
Решение
Пример №17. Найдите \(26\cos(\frac{3π}{2}+α)\), если \(\cosα=\frac{12}{13}\) и \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\).
Решение:
Очевидно, что к исходному выражению можно применить формулу приведения \(26\cos(\frac{3π}{2}+α)=26\sinα\). Задача свелась к нахождению синуса по косинусу, много похожих заданий было разобрано в статье «формулы связи».
\(\sin^2α+\cos^2α=1\)
\(\sin^2α+(\frac{12}{13})^2=1\)
\(\sin^2α+\frac{144}{169}=1\)
\(\sin^2α=1-\frac{144}{169}\)
\(\sin^2α=\frac{169-144}{169}\)
\(\sin^2α=\frac{25}{169}\)
\(\sin\,α=±\frac{5}{13}\)
С учетом того, что \(α∈(\frac{3π}{2};2π)\), то есть в четвертой четверти, \(\sin\,α=-\frac{5}{13}\).
\(26\cos(\frac{3π}{2}+α)=26\sinα=26\cdot (-\frac{5}{13})=-\frac{26\cdot 5}{13}=-2\cdot 5=-10\).
Ответ: \(-10\).
Пример №18. Вычислить, чему равен \(ctg\,(-a-\frac{7π}{2})\), если \(tg\,a=2\).
Решение:
Пример №19. Найдите значение выражения \(\frac{12 \sin11^° \cdot\,\cos11^°}{\sin 22^° }\).
Решение
Пример №20. Найдите значение выражения \(\sin{\frac{23π}{12}}\cos{\frac{23π}{12}}\).
Решение
Пример №21. Найдите значение выражения \(\sqrt{3}\cos^2\frac{5π}{12}-\sqrt{3}\sin^2\frac{5π}{12}\).
Решение
\(\sqrt{3}\cos^2\frac{5π}{12}-\sqrt{3}\sin^2\frac{5π}{12}=\sqrt{3}(\cos^2\frac{5π}{12}-\sin^2\frac{5π}{12})=\sqrt{3}\cos(2\cdot\frac{5π}{12})=\sqrt{3}\cos\frac{5π}{6}\)
Вычислим \(\cos\frac{5π}{6}\) с помощью тригонометрического круга. Сначала найдем \(\frac{5π}{6}\) на круге:
\(\frac{5π}{6}=\frac{6π-π}{6}=π-\frac{π}{6}\)
Теперь видно, что \(\cos\frac{5π}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sqrt{3}\cos \frac{5π}{6}=\sqrt{3}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3}{2}=-1,5\).
Пример №22. Найдите значение выражения \(\frac{24(\sin^2 17^°- \cos^2 17^°)}{\cos34^°}\).
Решение
Пример №23. Найдите \(16\cos2α\), если \(\cosα=\frac{3}{4}\).
Решение
Пример №24. Найдите значение выражения \(\frac{7\sin6α}{5\cos3α}\), если \(\sin3α=0,2\).
Решение
Пример №25. Найдите значение выражения \(\frac{5\sin98^°}{\sin49^°\sin41^°}\).
Решение
Пример №26. Найдите значение выражения \(\sqrt{12}\cos^2\frac{5π}{12}-\sqrt{3}\).
Решение
Пример №27. Найдите значение выражения \(\sqrt{32}-\sqrt{128}\sin^2\frac{7π}{8}\).
Решение
Хочу задать вопрос