Разбор 19 задания 25.09.2019 СтатГрад (Запад)

Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число \(3111\).
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна \(17\).
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна \(109\)?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.




а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна \(17\).

Рассуждения:

1)  Интересное:
         - без нулей
         - четырехзначное
         - одна цифра сумма трёх других
         - пример: \(3111\) т.к. \(3=1+1+1\).

2) Разность равна \(17\) \(→\) если к меньшему прибавить \(17\) получится большее.

3) Пробуем перебор:

 интересное + 17

Комментарий: существует \(5\) пар подходящих чисел и около \(100\) интересных чисел. Поэтому это только вопрос времени найти нужную пару.

Пункт а) в 19 задаче часто решается простым перебором, поэтому советую его не боятся и решать всем, кто осилил первую часть на ЕГЭ.

В бланк ответов:

\(1438-17=1421\).
Ответ: \(1438\) и \(1421\).




б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна \(109\)?

Рассуждения:

1) Разность равна \(109\) \(→\) если к меньшему прибавить \(109\) получится большее.

2) Какие есть закономерности?

интересные + 109 несколько примеров

Очевидно, что \(1\) не может быть последней цифрой у первого «интересного» - тогда второе получается с нулём на конце, а значит точно не будет «интересным».
Вторая закономерность: последняя цифра будет уменьшаться на \(1\), а третья и четвертая цифра - увеличиваться на \(1\). Как это оформить на языке математике?

3) Обозначим цифры в меньшем числе как \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), значит само число записывается как: \(\overline{abcd}\).

4) Если к \(\overline{abcd}\) прибавить \(109\), то получится число \(\overline{a(b+1)(c+1)(d-1)}\).

интересное +109

5) Сумма цифр первого: \(a+b+c+d\).
Сумма цифр второго: \(a+(b+1)+(c+1)+(d-1)=a+b+c+d+1\).

6) А чему в принципе равны суммы цифр интересных чисел?
\(1+7+3+3=14\) ( \(7 \cdot 2\) тоже равно \(14\))
\(4+8+2+2=16 \) ( \(8 \cdot 2\) равно \(16\))
\(5+2+2+1=10\) (\(5 \cdot 2=10\))
\(3+1+1+1=6\) (\(3 \cdot 2=6\))

Хм… Получается, что сумма цифр любого интересного числа всегда равна наибольшей цифре этого числа, умноженной на два. И это логично, ведь сумма трех других цифр равна наибольшему, значит все вместе они дадут два наибольших.

Тогда получается, что для любого интересного числа сумма \(a+b+c+d\) – четная, но тогда \(a+b+c+d+1\) – нечетное \(→\) \(a+b+c+d+1\) – не может быть «интересным».

В бланк ответов:

Обозначим меньшее «интересное» число, как \(\overline{abcd}\), если к нему прибавить \(109\), то получится:

интересные + 109

Значит сумма цифр второго числа равна \(a+(b+1)+(c+1)+(d-1)=a+b+c+d+1\).

Сумма цифр \(a+b+c+d\) – четная, т.к. одна цифра является суммой трех остальных, а значит их сумма равна двум наибольшим.

Следственно сумма \(a+b+c+d+1\) – не четная, значит и «интересным» оно быть не может. Пришли к противоречию, получается 2 «интересных» с разницей \(109\) быть не может.


в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Рассуждения:

1) Что тут написано? Что имеется в виду?
Расшифровываем:
Простое число – целое число, которое делится только само на себя и на единицу.
Кратное число – число, которое делится на данное целое без остатка, т.е. при делении интересного на кратное будет получаться некоторое целое. Можно даже нарисовать схемку:

расшифровываем условие

Или если немного преобразовать:

преобразовываем условие

Попробуем найти нужное нам наименьшее простое число перебором – будем брать их по очереди, начиная с самого маленького и проверять есть ли кратные им интересные числа. Если есть – такое простое число нам не подходит, и надо искать дальше.

2) Наименьшее из всех простых – число \(2\). Проверяем есть ли кратное ему интересное. Признак деления на \(2\) – число должно оканчиваться на четное, т.е. любое интересное оканчивающееся на \(2\),\(4\),\(6\) или \(8\) будет кратно \(2\). Таким является, например, интересное число \(1124 → 2\) не подходит.

3) Следующей проверяем \(3\). Признак деления на \(3\) – сумма цифр делится на \(3\). Из пункта б) становится ясно, что наибольшая цифра в таком интересном числе должна быть либо \(3\), либо \(6\), либо \(9\). Например, \(3111:3 = 1037 → 3\) также не подходит.

4) \(4\) – не простое число (оно делится на \(2\)), а вот \(5\) – простое. Проверяем его. Чтоб число делилось на \(5\) оно должно заканчиваться на \(5\) или \(0\). На ноль интересные числа заканчиваться не могут по условию \(→\) оканчиваются на \(5\). Например, \(2185:5 = 437 →\) и \(5\) мимо.

5) \(6\) – не простое, \(7\) -простое. У \(7\) нету признака деления, поэтому пробуем найти среди интересных чисел то, что делится на \(7\).

Ищем срези интересных делящиеся на 7

Долго искать не пришлось. \(1113:7=159\).

6) \(8\), \(9\), \(10\) – составные. \(11\) – простое. Признак деления на \(11\): если число делится на \(11\), то суммы цифр на четных и нечетных местах равны или отличаются на число, кратное \(11\) (подробности смотрите в предыдущей задаче).

Сумма цифр на четных местах и сумма цифр на нечетных местах в четырёхзначном числе не может отличаться больше чем на \(18\) (крайний случай \(9090\)) \(→\) в искомом суммы цифр на четных и нечетных местах равны (случай 1) или отличаются на \(11\) (случай 2). Рассмотрим их подробнее.

Случай 1: пусть \(a\) наибольшая цифра в интересном числе \(\overline{abcd}\) (если наибольшим будет \(b\), \(c\) или \(d\) все рассуждения будут аналогичны).
Т.к. суммы равны, то \(a+c=b+d\);
       Иными словами, \(a=b+d-c\).
С другой стороны, \(a=b+d+c\) (ведь \(a\) – наибольшее и значит равно сумме трех других). Т.к. \(c\) не ноль, то возникает противоречие \(→ a+c≠b+d\) в интересном числе. Первый случай – невозможен.

Случай 2: вновь полагаем \(a\) наибольшей цифрой числа.
Если суммы отличаются на \(11\), то \(a+c=b+d+11\).
С другой стороны, \(a=b+d+c\).
Подставляем \(a\) в первое равенство и получаем:

\(b+d+c+c=b+d+11\)
\(2c=b+d+11-b-d\)
\(2c=11\)
\(c=\frac{11}{2}\).

Но \(c\) не может быть дробным, ведь это цифра числа! Опять противоречие \(→\) второй случай также невозможен.
Получается интересных чисел кратных \(11\) не бывает.

В бланк ответов:

Интересное число кратное \(2\) – \(1124\).
Интересное кратное \(3\) – \(3111\).
Интересное кратное \(5\) – \(2185\).
Интересное кратное \(7\) – \(1113\).

Докажем, что \(11\) - наименьшее простое, для которого нет кратного интересного. Для этого докажем, что нет интересного числа, которое делится на \(11\).

Признак деления на \(11\): разница между суммами цифр, стоящими на четных и нечетных местах, равна \(0\) или кратна \(11\). Так как мы рассматриваем четырехзначные числа, то максимальная разница между суммами цифр на четных и на нечетных местах, кратная \(11\), равна \(11\) (\(22\), \(33\) и т.д. получится не может, т.к. из четырехзначных максимальную разницу между такими суммами имеет число \(9090\), и эта разница равна \(18\)).
Таким образом, имеем два возможных случая:
- суммы цифр равны (разница между ними – ноль)
- суммы цифр отличаются на \(11\).

Пусть \(k\) – наибольшая из цифр интересного числа, \(m\) – находится через цифру от \(k\) (то есть является ее парой при подсчете сумм на четных и нечетных местах). \(f\) и \(e\) – другие две цифры интересного числа.

Случай 1 – суммы равны. Тогда \(k+m=f+e\). С другой стороны, в интересном числе: \(k=m+f+e\). Получается:

\(m+f+e+m=f+e\)
\(2m=0\)
\(m=0\)

Но по условию в интересном числе нет нулей, следовательно, суммы цифр на четных и нечетных местах равны быть не могут.

Случай 2 – разница равна \(11\). Тогда \(k+m=f+e+11\)
С другой стороны, \(k=m+f+e\). Получается:

\(m+f+e+m=f+e+11\)
\(2m=11\)
\(m=\frac{11}{2}\)

Но \(m\) не может быть дробным, ведь это цифра числа.

Таким образом, оба варианта невозможны, а значит нет интересного числа, кратного \(11\).

Ответ: \(11\)


Хочу задать вопрос

*