Задача на интересные числа. Решение

1)  Интересное:
         - без нулей
         - четырехзначное
         - одна цифра сумма трёх других
         - пример: \(3111\) т.к. \(3=1+1+1\).

2) Разность равна \(17\) \(→\) если к меньшему прибавить \(17\) получится большее.

3) Пробуем перебор:

Комментарий: существует \(5\) пар подходящих чисел и около \(100\) интересных чисел. Поэтому это только вопрос времени найти нужную пару.

Пункт а) в 19 задаче часто решается простым перебором, поэтому советую его не боятся и решать всем, кто осилил первую часть на ЕГЭ.

\(1438-17=1421\).
Ответ: \(1438\) и \(1421\).

1) Разность равна \(109\) \(→\) если к меньшему прибавить \(109\) получится большее.

2) Какие есть закономерности?

Очевидно, что \(1\) не может быть последней цифрой у первого «интересного» - тогда второе получается с нулём на конце, а значит точно не будет «интересным».
Вторая закономерность: последняя цифра будет уменьшаться на \(1\), а третья и четвертая цифра - увеличиваться на \(1\). Как это оформить на языке математике?

3) Обозначим цифры в меньшем числе как \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), значит само число записывается как: \(\overline{abcd}\).

4) Если к \(\overline{abcd}\) прибавить \(109\), то получится число \(\overline{a(b+1)(c+1)(d-1)}\).

5) Сумма цифр первого: \(a+b+c+d\).
Сумма цифр второго: \(a+(b+1)+(c+1)+(d-1)=a+b+c+d+1\).

6) А чему в принципе равны суммы цифр интересных чисел?
\(1+7+3+3=14\) ( \(7 \cdot 2\) тоже равно \(14\))
\(4+8+2+2=16 \) ( \(8 \cdot 2\) равно \(16\))
\(5+2+2+1=10\) (\(5 \cdot 2=10\))
\(3+1+1+1=6\) (\(3 \cdot 2=6\))

Хм… Получается, что сумма цифр любого интересного числа всегда равна наибольшей цифре этого числа, умноженной на два. И это логично, ведь сумма трех других цифр равна наибольшему, значит все вместе они дадут два наибольших.

Тогда получается, что для любого интересного числа сумма \(a+b+c+d\) – четная, но тогда \(a+b+c+d+1\) – нечетное \(→\) \(a+b+c+d+1\) – не может быть «интересным».

Обозначим меньшее «интересное» число, как \(\overline{abcd}\), если к нему прибавить \(109\), то получится:

Значит сумма цифр второго числа равна \(a+(b+1)+(c+1)+(d-1)=a+b+c+d+1\).

Сумма цифр \(a+b+c+d\) – четная, т.к. одна цифра является суммой трех остальных, а значит их сумма равна двум наибольшим.

Следственно сумма \(a+b+c+d+1\) – не четная, значит и «интересным» оно быть не может. Пришли к противоречию, получается 2 «интересных» с разницей \(109\) быть не может.

1) Что тут написано? Что имеется в виду?
Расшифровываем:
Простое число – целое число, которое делится только само на себя и на единицу.
Кратное число – число, которое делится на данное целое без остатка, т.е. при делении интересного на кратное будет получаться некоторое целое. Можно даже нарисовать схемку:

Или если немного преобразовать:

Попробуем найти нужное нам наименьшее простое число перебором – будем брать их по очереди, начиная с самого маленького и проверять есть ли кратные им интересные числа. Если есть – такое простое число нам не подходит, и надо искать дальше.

2) Наименьшее из всех простых – число \(2\). Проверяем есть ли кратное ему интересное. Признак деления на \(2\) – число должно оканчиваться на четное, т.е. любое интересное оканчивающееся на \(2\),\(4\),\(6\) или \(8\) будет кратно \(2\). Таким является, например, интересное число \(1124 → 2\) не подходит.

3) Следующей проверяем \(3\). Признак деления на \(3\) – сумма цифр делится на \(3\). Из пункта б) становится ясно, что наибольшая цифра в таком интересном числе должна быть либо \(3\), либо \(6\), либо \(9\). Например, \(3111:3 = 1037 → 3\) также не подходит.

4) \(4\) – не простое число (оно делится на \(2\)), а вот \(5\) – простое. Проверяем его. Чтоб число делилось на \(5\) оно должно заканчиваться на \(5\) или \(0\). На ноль интересные числа заканчиваться не могут по условию \(→\) оканчиваются на \(5\). Например, \(2185:5 = 437 →\) и \(5\) мимо.

5) \(6\) – не простое, \(7\) -простое. У \(7\) нету признака деления, поэтому пробуем найти среди интересных чисел то, что делится на \(7\).

Долго искать не пришлось. \(1113:7=159\).

6) \(8\), \(9\), \(10\) – составные. \(11\) – простое. Признак деления на \(11\): если число делится на \(11\), то суммы цифр на четных и нечетных местах равны или отличаются на число, кратное \(11\) (подробности смотрите в предыдущей задаче).

Сумма цифр на четных местах и сумма цифр на нечетных местах в четырёхзначном числе не может отличаться больше чем на \(18\) (крайний случай \(9090\)) \(→\) в искомом суммы цифр на четных и нечетных местах равны (случай 1) или отличаются на \(11\) (случай 2). Рассмотрим их подробнее.

Случай 1: пусть \(a\) наибольшая цифра в интересном числе \(\overline{abcd}\) (если наибольшим будет \(b\), \(c\) или \(d\) все рассуждения будут аналогичны).
Т.к. суммы равны, то \(a+c=b+d\);
       Иными словами, \(a=b+d-c\).
С другой стороны, \(a=b+d+c\) (ведь \(a\) – наибольшее и значит равно сумме трех других). Т.к. \(c\) не ноль, то возникает противоречие \(→ a+c≠b+d\) в интересном числе. Первый случай – невозможен.

Случай 2: вновь полагаем \(a\) наибольшей цифрой числа.
Если суммы отличаются на \(11\), то \(a+c=b+d+11\).
С другой стороны, \(a=b+d+c\).
Подставляем \(a\) в первое равенство и получаем:

\(b+d+c+c=b+d+11\)
\(2c=b+d+11-b-d\)
\(2c=11\)
\(c=\frac{11}{2}\).

Но \(c\) не может быть дробным, ведь это цифра числа! Опять противоречие \(→\) второй случай также невозможен.
Получается интересных чисел кратных \(11\) не бывает.

Интересное число кратное \(2\) – \(1124\).
Интересное кратное \(3\) – \(3111\).
Интересное кратное \(5\) – \(2185\).
Интересное кратное \(7\) – \(1113\).

Докажем, что \(11\) - наименьшее простое, для которого нет кратного интересного. Для этого докажем, что нет интересного числа, которое делится на \(11\).

Признак деления на \(11\): разница между суммами цифр, стоящими на четных и нечетных местах, равна \(0\) или кратна \(11\). Так как мы рассматриваем четырехзначные числа, то максимальная разница между суммами цифр на четных и на нечетных местах, кратная \(11\), равна \(11\) (\(22\), \(33\) и т.д. получится не может, т.к. из четырехзначных максимальную разницу между такими суммами имеет число \(9090\), и эта разница равна \(18\)).
Таким образом, имеем два возможных случая:
- суммы цифр равны (разница между ними – ноль)
- суммы цифр отличаются на \(11\).

Пусть \(k\) – наибольшая из цифр интересного числа, \(m\) – находится через цифру от \(k\) (то есть является ее парой при подсчете сумм на четных и нечетных местах). \(f\) и \(e\) – другие две цифры интересного числа.

Случай 1 – суммы равны. Тогда \(k+m=f+e\). С другой стороны, в интересном числе: \(k=m+f+e\). Получается:

\(m+f+e+m=f+e\)
\(2m=0\)
\(m=0\)

Но по условию в интересном числе нет нулей, следовательно, суммы цифр на четных и нечетных местах равны быть не могут.

Случай 2 – разница равна \(11\). Тогда \(k+m=f+e+11\)
С другой стороны, \(k=m+f+e\). Получается:

\(m+f+e+m=f+e+11\)
\(2m=11\)
\(m=\frac{11}{2}\)

Но \(m\) не может быть дробным, ведь это цифра числа.

Таким образом, оба варианта невозможны, а значит нет интересного числа, кратного \(11\).

Ответ: \(11\)