Разбор 19 задания 25.09.2019 СтатГрад (Восток)

На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) и \(7\) (\(34567\), \(34576\) и т. д.).
а) Есть ли среди них число, которое делится на \(55\)?
б) Есть ли среди них число, которое делится на \(505\)?
в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на \(11\).




а) Есть ли среди них число, которое делится на \(55\)?

Рассуждения:

Пятизначное \(→\) из пяти цифр \(▁\: ▁ \: ▁\: ▁\: ▁\).
Цифры \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\) без повторения.

1)  Делится на \(55\) \(→\) делится на \(5\) и \(11\).

2)  Признак деления на \(5\): число заканчивается на \(5\) и \(0\), но \(0\) не может быть по условию → заканчивается на \(5\).

3) Признак деления на \(11\): суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах равны или отличаются на число кратное \(11\) (\(11\), \(22\), \(33\) …).

Признак деления на 11

4) Какова сумма всех цифр? \(3+4+5+6+7=25\) – нечетная → во-первых, равенства сумм, стоящих на четных и не четных местах, быть не может, а во-вторых, отличаться более чем на \(11\) они тоже не могут \(→\) суммы отличаются на \(11\).

5) Пусть \(x\) – сумма цифр на четных местах, тогда \(x+11\) – сумма цифр на нечетных.

\(x+x+11=25\)
\(2x=14\)
\(x=7\)

6) \(7=4+3\) – цифры на четных местах. \(18=6+7+5\) – цифры на нечетных местах.

Число, которое делится на 55

7) Проверка:

делится на 55

В бланк ответов:

Да, например, число \(64735=1177⋅55\).



б) Есть ли среди них число, которое делится на \(505\)?

Рассуждения:

1) Делится на \(505\) \(→\) делится на \(101\) и \(5\) \(→\) заканчивается на \(5\).

2) Какие есть закономерности в числах делящихся на \(505\)?

Числа делящиеся на 505

Числа на втором и четвертом месте равны или отличаются на 1? Ммм… возможно, но не факт. Это тяжело доказать. Ищем другой путь.

3) Пробуем перебор:

проверяем делятся ли числа 505

4) Проверили все 24 возможных варианта. Нужного числа не нашли.

Комментарий: это решение не самое красивое и хитрое, но альтернативное решение намного сложнее и не сильно меньше размером - при его нахождении в итоге вычислений было больше, чем при этом решении «в лоб». И не переживайте – перебор тоже зачтут. Константин (второй автор сайта) специально сдал ЕГЭ, чтоб проверить это на практике.

В бланк ответов:

Нет. Число делящиеся на \(505\) должно делится на \(101\) и \(5\). Чтоб число делилось на \(5\) оно должно заканчиваться на \(5\) или \(0\). С учетом условия задачи – на \(5\).

Рассмотрим \(24\) варианта чисел, получаемых из набора \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\) и оканчивающихся на \(5\).

\(34675∶505=68\) остаток \(335\);
\(34675∶505=68\) остаток \(425\);
\(36475∶505=72\) остаток \(115\);
\(36745∶505=72\) остаток \(385\);
\(37465∶505=74\) остаток \(95\);
\(37465∶505=74\) остаток \(275\);
\(43675∶505=86\) остаток \(245\);
\(43765∶505=86\) остаток \(335\);
\(46375∶505=91\) остаток \(420\);
\(46735∶505=92\) остаток \(275\);
\(47365∶505=93\) остаток \(400\);
\(47635∶505=94\) остаток \(165\);
\(63475∶505=125\) остаток \(350\);
\(63745∶505=126\) остаток \(115\);
\(64375∶505=127\) остаток \(240\);
\(64735∶505=128\) остаток \(95\);
\(67345∶505=133\) остаток \(180\);
\(67435∶505=133\) остаток \(270\);
\(73465∶505=145\) остаток \(240\);
\(73645∶505=145\) остаток \(420\);
\(74365∶505=147\) остаток \(130\);
\(74635∶505=147\) остаток \(400\);
\(76345∶505=151\) остаток \(90\);
\(76435∶505=151\) остаток \(180\).

Ни одно из них не делится на \(505\). Значит из набора цифр \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) и \(7\) нельзя составить число, делящееся на \(505\).

Комментарий: очень важно в решении перебором показать, что именно ВСЕ возможные числа не подходят. Если какой-то из вариантов не записать в бланк, то доказательство будет неполным и потеряет свою силу.


в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на \(11\)?

Рассуждения:

1) Сумма цифр равна \(25\) \(→\) разница между суммами на четных и нечетных местах \(= 11\).
\(7\) – сумма на четных местах
\(18\) – сумма на нечетных (смотри рассуждения под а).

2) \(18=5+6+7\) – цифры расставляем в порядке убывания (чтоб число получилось как можно больше).

расставляем числа в порядке убывания

3) \(7=3+4\) – расставляем в порядке убывания.

Подбираем число, которое делится на 11

4) Проверка:

проверка деления 55

В бланк ответов:

Если число делится на \(11\), то сумма цифр на четных и нечетных местах равна или отличается на число кратное \(11\).

Сумма всех цифр числа равна \(3+4+5+6+7=25\) – нечетна. Значит суммы на четных и нечетных не могут быть равны.

Также разница между суммами цифр на четных и нечетных местах не может быть равна \(22\). Получается разница между суммами - \(11\).

Пусть \(x\) – сумма цифр на четных местах, тогда \(x+11\) – на нечетных.
\(x+x+11=25\)
\(2x=14\)
\(x=7\)

\(7=3+4\) – цифры на четных местах;
\(18=7+6+5\) – цифры на нечетных.
Расставляем в порядке убывания, чтоб получить наибольшее число, делящееся на \(11\). В итоге имеем число \(74635\).

Ответ: \(74635\).


Хочу задать вопрос

*
В вашем разборе статграда от 25.09.2019 (Восток) есть ошибка. В 19 задании , в пункте 3 наибольшее число, делящиеся на 11, будет 97581
97581
Администратор сайта
Здравствуйте, Егор.
Прочитайте внимательно условие задачи:"На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 3, 4, 5, 6 и 7". Как видите, девятки, восьмерки и единицы среди цифр числа быть не может. Поэтому ваше число 97581 не подходит.
С уважением.