Теория для задания 2 ЕГЭ

Площадь поверхности – это суммарная площадь всех поверхностей, которые составляют объемную фигуру.

Призма

1. Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) — равные \(n\)-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, остальные \(n\) граней (боковые) — параллелограммы. Призмы подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего.

2. Призма, у которой боковое ребро перпендикулярно основанию, называется прямой. Ее боковые грани — прямоугольники, и высота равна боковому ребру.
Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной. Ее боковые грани, равные прямоугольники.

3. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней: \(S_{бок}= S_1+ S_2+...+ S_n\).
Площадь поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований: \(S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}\).

4. Объем произвольной призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V_{призмы}=S_{осн}\cdot h\).

Параллелепипед

5. Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм. Противоположные боковые грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно основанию.
Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда выражается через его измерения (ширину, длину и высоту) формулой \(d^2=a^2+b^2+c^2\).
Куб - параллелепипед, у которого все грани квадраты. Диагональ куба с ребром \(a\): \(d=a\sqrt{3}\).

Пирамида

6. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (основание) — \(n\)—угольник, а остальные \(n\) граней (боковые) — треугольники с общей вершиной. Пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Тетраэдер – другое название треугольной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание.

7. Пирамида называется правильной, если ее боковые ребра равны, а в основании лежит правильный многоугольник.
Основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром ее основания, углы наклона боковых ребер к основанию равны, двугранные углы при основании равны, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины к ребру основания.

8. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: \(S_{бок}= S_1+ S_2+...+ S_n\).
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: \(S_{полн} = S_{бок}+ S_{осн}\).

9. Объем произвольной пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту: \(V=\frac{1}{3} S_{осн}\cdot h\).

Сфера и шар

10. Сфера — это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы.
Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на сфере, или длина этого отрезка.
Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки на сфере.
Диаметр сферы — это хорда, которая проходит через центр сферы. Диаметр сферы равен двум радиусам сферы.

11. Площадь сферы находится по формуле: \(S_{сф}=4πR^2\).

12. Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой, вместе с самой сферой и ее центром. Данная сфера называется поверхностью шара.
Сечение шара с радиусом \(R\) плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом шара. Радиус, хорда, диаметр шара те же, что и его сферы.

13. Объем шара находится по формуле \(V_{шара}=\frac{4}{3} πR^2\).

Цилиндр

14. Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг прямой, проходящей через одну из его сторон.
Прямая вращения называется осью цилиндра.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(l\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, \(l\) — его образующая.
Образующая цилиндра — отрезок (обозначается \(l\) или \(L\)), перпендикулярный основаниям цилиндра и соединяющий точку окружности верхнего основания с точкой окружности нижнего основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (обозначается \(h\) или \(H\)).

15. Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок}=2πrh\);      \(S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}=2πrh+2πr^2\).

16. Объем цилиндра \(V_{цил}=S_{осн} h=πr^2 h\).

Конус

17. Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Прямая вращения называется осью конуса.
Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым сечением. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник со стороной основания \(2r\) боковой стороной \(l\), где \(r\) — радиус основания конуса, \(l\) — его образующая.
Вершина осевого сечения является вершиной конуса.
Образующая конуса (обозначается \(l\) или \(L\)) — отрезок, соединяющий вершину конуса и точку окружности основания.
Высотой конуса называется расстояние от вершины конуса до плоскости основания (обозначается \(h\) или \(H\)). Высота конуса равна высоте осевого сечения, опущенной на основание.

18. Площадь боковой поверхности конуса: \(S_{бок кон}=πrl\),      \(S_{кон}=S_{бок}+S_{осн}=πrl+2πr^2\).

19. Объем конуса: \(V_{кон}=\frac{1}{3}S_{осн}h=\frac{1}{3}πr^2 h\).