Всё о 7 задаче ЕГЭ - производная

6 задача ЕГЭ – на понимание производной функции. Задание проверяет знание связи между графиком функции и значением ее производной в различных точках, и наоборот – графиком производной и возрастанием/убыванием функции на интервалах и в точках.

Хотя это задание относится к сложному разделу (математический анализ), само по себе оно довольно простое. Решается в одно действие и знать нужно немного - для решения большинства задач хватит информации написанной на этих двух картинках:

Более подробно об этом теме – рассказано в этих видео:

Что такое производная | Наглядное объяснение на графиках
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов
Геометрический смысл производной | Теория + разбор задач ЕГЭ

Задачи, которые были на экзамене за последние 10 лет

2011:

2012:

2013:

2014:

2015:

2016:

2017:

2018:

2019:

2020:

2021:

В открытом банке есть и другие типы заданий (на первообразную, физический смысл производной и условия касания), но в вариантах реальных ЕГЭ я таких задачи не нашла. Хотя это и не значит, что в будущем на ЕГЭ такого никогда не будет, так что лучше разберитесь и в них тоже. Вот примеры таких задач:

Процент выполнения

Сколько процентов пишущих экзамен решили задачу на производные в разные годы:

Сколько процентов из тех, кто решал экзамен в 2021 году, набрал в задаче хотя бы 1 балл:

Какой вывод можно сделать? Шестую задачу решает примерно 6 человек из 10 и это третья задача по потерянным баллам (в первой части). Для меня это несколько удивительно, потому что 6 задача не требует большого количества знаний и решается в одно действие. В чем же может быть причина таких результатов?

Типичные ошибки

1. Перепутать производную и функцию

Многие начинают в этой задаче отвечать так будто перед ними график функции и выбирают точки – \(x_1\), \(x_4\), \(x_7\), \(x_8\). Хотя правильные точки \(x_4\), \(x_5\), \(x_6\) и ответ \(3\).

Вот, что авторы ЕГЭ написали в Методических рекомендациях по итогам ЕГЭ об этой задаче: «Выполнение – около 69%. Типичные ошибки связаны в первую очередь с невнимательным чтением условия – почти 24% участников указали количество точек, в которых значение функции положительно, а еще около 2% участников пытались перечислить номера точек, в которых производная принимает положительные значения.»

2. Не ограничить график данным отрезком

Если забыть про отрезок, который указан в конце условия, то в ответ задаче \(3\). Если не забывать про отрезок, то ответ в задаче \(2\). Составители ЕГЭ пишут, что около \(31\)% экзаменуемых делают такую ошибку, а правильный ответ дают лишь \(43\)%. Поэтому Ященко, Семенов и Высоцкий советуют начинать решение задачи с отмечания данного отрезка в КИМе. Напомню, что вы МОЖЕТЕ рисовать на выданных вам бланках КИМ.

3. Неправильно вычислить тангенс или не учесть убывание/возрастание функции

Чтобы найти производную в точке, нужно вычислить тангенс угла наклона касательной с положительным направлением оси \(Ox\). На практике задача решается в 2 этапа:

1. Определить убывает касательная или возрастает и соответственно поставить знак минус или плюс.

2. Определить тангенс угла в треугольнике, в котором гипотенуза является частью касательной, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек.

В этой задаче многие, во-первых, забывали про первый пункт, а во-вторых, путались в определении тангенса и вместо \(\frac{AC}{BC}\) считали \(\frac{BC}{AC}\).