Операции над событиями. Решение задач с не равновероятными исходами

В предыдущей статье мы рассмотрели задачи с экспериментами, исходы которых могут наступить с одинаковой вероятностью. Однако в жизни намного чаще встречаются эксперименты, не соответствующие этому требованию. 

Эксперимент, исходы которого имеют разную вероятность называется экспериментом с не равновероятными исходами (или, для краткости, не равновероятным экспериментом).

Тут, пожалуй, стоит сделать пометку «ваш Капитан Очевидность».

Примеры таких экспериментов:
- проверка лотерейного билета: очевидно, что выигрыш намного менее вероятен, чем проигрыш (если только вы не организатор лотереи);
- встретите ли вы завтра утром Путина или нет;
- будет ли дождь в ближайший понедельник…
И так далее, примеров великое множество.

И для всех таких ситуаций формула \(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\) НЕ РАБОТАЕТ! Для работы с такими экспериментами используются операции над событиями. Мы изучим три такие операции: нахождение обратного события, умножение событий и сложение событий.



Понятие обратного события и его вероятность

Событие, которое наступает, когда НЕ наступает событие \(A\), называется обратным событию \(A\) (обозначается \(\overline A\) ).

Например:
- если событие \(A\) – «при подбрасывании монеты выпал орел», то событие \(\overline A\) – «при подбрасывании монеты выпала решка (то есть НЕ орел)»
- если событие \(A\) – «завтра утром будет дождь», то событие \(\overline A\) – «завтра утром будет что угодно, кроме дождя (солнце, снег, тайфун, солнечное затмение, восхождение Кровавой Луны…)»
- если событие \(A\) – «учительница поставила вам за ответ пять», то событие \(\overline A\)– «учительница поставила вам четыре, или три, или два, или кол» (или выгнала с урока, или у нее случился сердечный приступ от вашего ответа, или она вообще не заметила, что вы выходили к доске, или сделала еще что-то, кроме «поставила пять»).

Наглядно события \(A\) и \(\overline A\) можно представить следующей картинкой:

Схема обратного события

То есть, события \(A\) и \(\overline A\) по определению включают в себя ВСЕ возможные исходы эксперимента (математики говорят «образуют полную группу исходов»). А это значит, что в любом эксперименте одно из этих событий наступит обязательно! Иными словами, суммарная вероятность их наступления равна \(100\%\): \(P(A)+P(\)\(\overline A\)\()=1\). Отсюда получаем формулу для вычисления вероятности обратного события:

\(P( \overline A)=1-P(A)\) , где \(P(A)\) – вероятность события \(A\)
                                       \(P( \overline A )\) – вероятность события \(\overline A\) обратного событию \(A\).


Пример (ЕГЭ). Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем \(36,8 °С\), равна \(0,81\). Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется \(36,8 °С\) или выше.

Решение: Эксперимент тут – измерение температуры тела здорового человека, а исходами будут результаты измерения. Понятно, что какую-то температуру градусник покажет в любом случае, т.е. вероятности всех исходов дают в сумме единицу.
Также понятно, что события «температура ниже \(36,8 °С\)» и «температура равна или выше \(36,8 °С\)» - взаимно обратны (если произошло одно из них, то гарантировано не произошло другое, и наоборот).
Исходы, подходящие событию «температура ниже чем \(36,8 °С\)» имеют суммарную вероятность \(0,81\). Ну и как же найти суммарную вероятность исходов «температура равна или выше чем \(36,8 °С\)»???

задача с градуником

До этого, конечно, безумно сложно догадаться, но решение таково:
\(P(\overline A )=1-0,81=0,19\)

Ответ: \(0,19\).




Событие \(A·B\). Умножение вероятностей событий

Прежде чем двигаться дальше, нам понадобится вспомнить понятие совместных и не совместных событий.

События называются совместными, если они могут наступить одновременно (в рамках одного эксперимента или наблюдения) и несовместными, если не могут.

Например, события «вытащенная вслепую из колоды карта имеет масть черви» и «вытащенная карта – “черная”» - несовместны.

А вот события «вытащенная вслепую из колоды карта имеет масть черви» и «вытащенная карта – валет» - вполне совместны (ведь можно вытащить червового валета).

Событием \(A·B\) называются такое событие, которое происходит только если произошло и \(A\), и \(B\).

Например, если событие \(A\) «на кубике выпало четное число», а событие \(B\) «на кубике выпало более двух очков», то событие \(A·B\) произойдет, если выпадет \(4\) или \(6\) очков.

Кстати, червовый валет в примере выше – это тоже событие \(A·B\).

Наглядно событие \(A·B\) можно представить так:

схема умножения сообытий

Вероятность \(A·B\) вычисляется по следующей формуле:

\(P(A·B)=P(A)·P(B)\), где \(P(A)\) – вероятность события \(А\)
                                                 \(P(B)\) – вероятность события \(B\)
                                                 причем \(A\) и \(B\) – совместные события!


Обратите внимание на этот нюанс - формула справедлива только для совместных событий. А теперь те, что читал внимательно, ответьте - чему равна вероятность \(A·B\), если \(A\) и \(B\) - несовместны? Не спешите, подумайте. Правильный ответ – ниже (после примера).


Пример (ЕГЭ). В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью \(0,3\). Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение: Пусть событие \(A\) – «занят первый продавец», \(B\) – «занят второй продавец», \(C\) - «занят третий продавец». Нам нужно чтоб были заняты они все, то есть, чтобы выполнилось одновременно и \(A\), и \(B\), и \(C\). Иными словами, нас интересует событие \(A·B·C\). Вычисляем вероятность, используя формулу:

\(P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0,3·0,3·0,3=0,027\)

Ответ: \(0,027\)


Теперь ответ на вопрос, заданный выше: если события \(A\) и \(B\) несовместны, то вероятность события \(A·B\) равно нулю.

Если \(A\) и \(B\) – несовместны, то \(P(A·B )=0\)

Почему так? Событие \(A·B\) наступит ТОЛЬКО если и \(A\), и \(B\) произойдут вместе. Но ведь события несовместны, то есть по определению не могут произойти вместе! Значит, \(A·B\) – невозможное событие, и вероятность его наступления равна нулю. Графически это можно представить следующим образом:

умножение несовместных событий рисунок

Наглядное пояснение на примере: допустим, событие \(A\) – «при броске кубика выпало \(5\) очков», \(В\) – «при броске выпало четное число». Ну и как может произойти \(A·B\)? Для этого надо чтоб выпала четная пятерка. Так не бывает, то есть вероятность равна нулю.




Событие \(A+B\). Сложение вероятностей событий

Событием \(A+B\) называется такое событие, которое происходит если произошло хотя бы одно из событий \(A\) и \(B\) (то есть, произошло или \(A\), или \(B\), или они оба вместе).

Например, если событие \(A\) «на кубике выпало четное число», а событие \(B\) «на кубике выпало более двух очков», то событие \(A+B\) произойдет, если выпадет \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) или \(6\) очков.

Наглядно событие \(A+B\) можно представить так:

сложение вероятностей

Вероятность \(A+B\) вычисляется по следующей формуле:

\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)\), где \(P(A)\) – вероятность события \(А\)
                                                                        \(P(B)\) – вероятность события \(B\)
                                                                         причем \(A\) и \(B\) – совместные события!

Замечание! Обычно в этом месте у учеников возникает непонимание – почему вычитается \(P(A·B)\), ведь оно входит в заштрихованную область? Чтобы это понять, давайте мысленно «пронумеруем» области на схеме, вот так:

сложение событий

А теперь подумайте: нам надо взять все исходы, подходящие хотя бы одному событию, то есть, взять области \(I\),\(II\) и \(III\) по одному разу. Однако если мы просто сложим все исходы \(A\) и все исходы \(B\) – мы возьмем область \(II\) два раза (ведь она входит и в \(A\), и в \(B\)! Именно поэтому мы убираем одну лишнюю область \(II\), вычитая \(P(A·B)\).

Отметим также, что необходимость вычитать \(P(A·B)\) есть только у совместных событий (для которых и приведена схема и формула выше). Для несовместных все проще – у них нет общих исходов, а значит на схеме области не пересекаются...:

сложение вероятностей совместных событий

…а в формуле будет только два слагаемых:

\(P(A+B)=P(A)+P(B)\), где \(P(A)\) – вероятность события \(A\)
                                                     \(P(B)\) – вероятность события \(B\)
                                                     причем \(A\) и \(B\) – не совместные события!


Пример (ЕГЭ). На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных. Вероятность того, что это будет вопрос по теме «Вписанная окружность», равна \(0,2\). Вероятность того, что это будет вопрос по теме «Параллелограмм», равна \(0,15\). Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: Обозначим события:
\(A\) – «школьнику достался вопрос по теме вписанная окружность»,
\(B\) – «школьнику достался вопрос по теме параллелограмм».
Тогда событие «школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем» будет суммой событий \(A\) и \(B\) (потому что нам подойдут они оба - или \(A\), или \(B\)). Причем заметим, что «вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», то есть, школьник не может вытащить билет сразу с двумя темами. Значит \(A\) и \(B\) вместе произойти не могут, иначе говоря, они несовместны. Зная всё это, получаем ответ:

\(P(A+B)=P(A)+P(B)=0,2+0,15=0,35\)

Ответ: \(0,35\)

Примеры, рассмотренные в данной статье могли показаться вам не слишком трудными. Однако разобраться в них важно, поскольку они – основа для решения более сложных задач.

Хочу задать вопрос

*