Решение задач на эксперимент с равновероятными исходами

Сразу дадим важное определение:

Эксперимент, все исходы которого имеют одинаковую вероятность наступления называется экспериментом с равновероятными исходами (или равновероятным экспериментом).

Примеры такого эксперимента:
- подбрасывание монеты: очевидно, что выпадение орла столь же вероятно, как выпадение решки;
- бросание игральной кости: точно также, вероятность выпадения каждой из \(6\) граней одинакова.

На всякий случай уточним, что здесь и далее имеются ввиду обычные, нормальные условия экспериментов, т.е., например, кубик самый обыкновенный и бросается как обычно, без всяких уловок и хитростей.



Решение задач на эксперимент с равновероятными исходами

В таких задачах чаще всего требуется найти вероятность того или иного события. Делается это по очень простой и интуитивно понятной формуле:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\) , где \(P(A)\) – вероятность события \(A\)
                             \(n\) – количество исходов, удовлетворяющих событию \(A\)
                             \(N\) – общее количество исходов в эксперименте

Непонятна формула? Хорошо, давайте на конкретных примерах.


Пример (ОГЭ). Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало не меньше \(5\) очков. Ответ округлите до сотых.

Решение: Рассуждаем – какие могут быть элементарные исходы в эксперименте «бросок кубика»? Ну, достаточно очевидно какие:
- выпало \(1\) очко;
- выпало \(2\) очка;
- выпало \(3\) очка;
- выпало \(4\) очка;
- выпало \(5\) очков;
- выпало \(6\) очков.

Всё, больше в норме ничего произойти не может (варианты «кубик завис в воздухе» или «кубик встал на ребро» не рассматриваем). Таким образом, всего у нас возможно \(6\) исходов (\(N=6\)). А какие из них подходят событию «при бросании кубика выпало не меньше \(5\) очков»? Понятно, что это исходы «выпало \(5\) очков» и «выпало \(6\) очков» (во всех остальных случаях очков меньше \(5\)). Значит нашему событию подходят \(2\) исхода (\(n = 2\)). Осталось вычислить: \(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{2}{6}\)\(=\)\(\frac{1}{3}\)\(=0,3333…\). И после округления до сотых имеем окончательный ответ: \(P(A)=0,33\).

Ответ: \(0,33\).


Пример (ЕГЭ). На экзамене \(60\) билетов, Андрей не выучил \(3\) из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Эксперимент тут – «Андрей тянет билет и смотрит выучил ли он его». Исходом является вытянутый билет, а всего их \(60\), значит и элементарных исходов столько же (\(N = 60\)). Если Андрей не выучил \(3\) билета, значит выучил \(60-3=57\). То есть, нам под событие «попадется выученный билет» подходит \(57\) билетов (\(n = 57\)). Вычисляем ответ:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{57}{60}\)\(=\)\(\frac{19}{20}\)\(=0,95\)

Ответ: \(0,95\).


Внимание! При решении задач следите, чтобы эксперимент был обязательно равновероятным, иначе можно сделать ошибку! Например, в предыдущей задаче можно было рассуждать так: «возможны два исхода – либо попадется выученный билет, либо не выученный. Значит, вероятность равна \(\frac{1}{2}\), т.е. \(0,5\)». И это неверная логика, потому что исход «попался выученный билет» вероятнее, чем «попался невыученный» (выученных билетов больше), а значит формулу \(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\) применять НЕЛЬЗЯ (она только для равновероятных исходов). А с такой логикой можно получить и вероятность встретить динозавра на улице равной \(50\%\) (или встречу, или не встречу).

Разберем еще одну похожую задачку.


Пример (ЕГЭ). На олимпиаде по русскому языку \(250\) участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по \(120\) человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение: Вот тут можно подумать, что раз аудиторий три, а интересует нас только одна из них (запасная), значит и вероятность равна \(\frac{1}{3}\). Это неверно: в запасной аудитории олимпиаду писало \(250-120-120=10\) человек, то есть сильно меньше, чем в двух других. Значит, и вероятность попасть в нее была меньше. То есть, принимая в качестве исходов:
- случайный участник писал олимпиаду в первой аудитории;
- случайный участник писал олимпиаду во второй аудитории;
- случайный участник писал олимпиаду в запасной аудитории;
мы получаем не равновероятный эксперимент. Чтоб исходы стали равновероятны, в качестве них надо рассматривать не аудитории, а конкретные места – с первого по \(250\)-ое (потому что каждое отдельное место не имеет преимуществ перед другим, а значит равновероятно). И тогда получается, что нам подходит \(10\) мест из \(250\), значит искомая вероятность равна:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{10}{250}\)\(=\)\(\frac{1}{25}\)\(=0,04\)

Ответ: \(0,04\).



Кстати, из формулы \(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\) становится очевидно, что:

Вероятность любого события всегда лежит в пределах от \(0\) до \(1\) (или от \(0\%\) до \(100\%\)) включительно.

Ведь чтобы \(P(A)\) была больше единицы, \(n\) должна быть больше \(N\). То есть подходящих исходов должно быть больше чем всего возможно исходов. Так не бывает! И меньше нуля (отрицательно) тоже быть не может, ведь понятно, что ни \(n\), ни \(N\) отрицательными быть не могут. Значит – от нуля до единицы!



Задачи с более сложными экспериментами

В практике часто встречаются задачи со сложными экспериментами, состоящими из нескольких повторов более простых, например, ситуация, когда «кубик бросается два раза» или «монета подбрасывается трижды». Что будет исходом такого эксперимента и как посчитать количество таких исходов?

Разберем на примере подбрасывания монеты.

Что будет исходом? Если монета бросается несколько раз, то и исходом будет цепочка из результатов всех бросков. Например, при трех бросках одним из возможных исходов будет «орел-орел-решка», а при пяти – «решка-орел-решка-решка-орел».

Как посчитать все возможные исходы? Рассуждаем – при однократном броске у нас два исхода: «орел» или «решка». И каждое дальнейшее подбрасывание будет как бы раздваивать предыдущие исходы. То есть, при двух бросках получаются цепочки: «орел-орел», «орел-решка», «решка-орел» и «решка-решка». Вообще такие эксперименты удобнее представлять схематически. Вот, например, схема для трех бросков:

монета подбрасывается трижды схема

Таким образом, при трех подбрасываниях у нас всего возможно \(8\) исходов (вдвое больше чем при двух бросках).

И смотрите какая получается закономерность:
- один бросок монеты – \(2\) исхода;
- два броска монеты – \(2·2=4\) исхода;
- три броска монеты – \(2·2·2=8\) исходов;

Значит, при четырех бросках будет \(16\) исходов, при пяти – \(32\) и т.д.? Да, все так, ведь каждый следующий бросок удваивает количество возможных цепочек: получаются, во-первых, все предыдущие комбинации плюс на последнем броске «орел», а во-вторых, все предыдущие и на конце «решка». Теперь можно даже общую формулу вывести:

\(N=I^k\) , где \(N\) – общее количество исходов в эксперименте
                       \(I\) – количество исходов в одном броске
                       \(k\) – количество бросков в эксперименте

Теперь вы можете легко посчитать, например, сколько исходов у двукратного броска кубика (или одного броска двух кубиков сразу) – получается \(6^2=36\).

Заметим, что формулу, приведенную выше, не надо учить. Вообще старайтесь не учить формулы в математике, а понимать откуда они получаются. Конкретно эта формула понятна из логики: например, один бросок кубика это шесть исходов, а второй «расшестиряет» каждый из них. Получается шесть раз по шесть - ровно \(36\).


Пример. Пусть вам нужно написать тест, к которому вы не готовы от слова «совсем» . Тест состоит из \(10\) вопросов по \(4\) варианта ответа (и только один верный). Каковы ваши шансы ответить на все вопросы правильно?

Решение: Раз мы к тесту не готовы, то значит отвечать будем наугад. Понятно, что верный набор ответов только один (\(n = 1\)). А вот сколько всего существует разных наборов ответов? Давайте подумаем: при случайном выборе ответов задачу условно можно представить как \(10\) бросков четырехгранного «кубика». Значит всего у нас наборов ответов: \(N=4^{10}=1 048 576\). То есть, наша чрезвычайно печальная вероятность:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{1}{1 048 576}\)\(=\)\(0,000000953…\)

Это меньше \(0,0001\%\). Да-да, вы всё правильно поняли - меньше одной десятитысячной процента. Короче, готовьтесь к тестам лучше! Иначе ваши шансы сдать такой тест на отлично без подготовки будут один к миллиону.


Пример (ЕГЭ). В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет ровно две решки.
Решение: Рисуем схемку (приведена выше) и сразу понимаем, что всего исходов \(8\), а подходят нам только \(3\) (ОРР, РОР, РРО). Вычисляем вероятность:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{3}{8}\)\(=0,375\)

Ответ: \(0,375\).

Пример (ЕГЭ). В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет \(8\) очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Мы уже знаем, что всего исходов \(36\) (смотри выше). А какие нам подойдут? Рассуждаем: как можно получить \(8\) очков в сумме? Для этого надо выбросить:
- \(2\) и \(6\);
- \(3\) и \(5\);
- \(4\) и \(4\);
- \(5\) и \(3\);
- \(6\) и \(2\).
Итого имеем \(5\) исходов из \(36\). То есть вероятность равна

\(P(A)=\)\(\frac{5}{36}\)\(=0,13888...\)

Округляем до сотых и получаем окончательный ответ: \(P(A)=0,14\).

Ответ: \(0,14\).




Задачи с неочевидным равновероятным экспериментом в них

Вам также могут встретиться задачи, в которых вроде бы другая логика, но если внимательно присмотреться, увидите всё тот же старый добрый равновероятный эксперимент.

Пример (ЕГЭ). В классе \(26\) учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на \(2\) равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение: Стандартный путь решения тут - через сочетания, и это довольно сложно. Давайте как-нибудь попроще. Учащихся \(16\), а групп две, значит после разбиения в каждой группе будет по \(8\) человек.

В классе 26 учащихся

Пусть Андрея для размещения выбрали первым, а Сергея вторым, потому что если будет иначе – ничего не измениться (доказательство этого утверждения довольно объемно, поэтому просто поверьте на слово). Поместим Андрея в какую-нибудь группу, например, в первую.

решение задачи про 26 учащихся

Тогда в этой группе осталось \(12\) свободных мест, и, соответственно, \(13\) во второй группе. Теперь размещаем Сергея. Он может попасть на любое из \(12+13=25\) мест, но для того, чтоб наступило событие «Андрей и Сергей оказались в одной группе» подойдет только \(12\) из них. Таким образом, вероятность получится:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{12}{25}\)\(=0,48\)

Ответ: \(0,48\).


Пример (ЕГЭ). За круглый стол на \(9\) стульев в случайном порядке рассаживаются \(7\) мальчиков и \(2\) девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение: Изначально у нас такая ситуация:

схема для задачи про круглый стол и рассаживающихся девочек и мальчиков

Опять преобразуем задачу – пусть обе девочки садятся первыми. После того как села первая девочка, картинка станет примерно такой:    

решение задачи про круглый стол

То есть, вне зависимости от того, какой стул заняла первая девочка, рядом с ней остается ровно два места, а общее количество свободных мест равно \(8\). Зная это, вычисляем вероятность события «обе девочки будут сидеть рядом»:

\(P(A)=\)\(\frac{n}{N}\)\(=\)\(\frac{2}{8}\)\(=0,25\).

Ответ: \(0,25\).

Хочу задать вопрос

*