Как решать задачи по геометрии. Часть 2

Поиск верной цепочки рассуждений

Первую часть этой статьи можно прочитать здесь.

Представь, что ты идешь по улице, думаешь о каких-то своих делах и вдруг видишь воспитательницу из детского сада, в который ты ходил. Что произойдет дальше? А дальше твои мысли практически неизбежно хотя бы на несколько секунд переключатся на воспоминания о детском садике или детстве вообще. Как ты не хотел спать во время тихого часа. Или как подрался из-за игрушки в песочнице. О твоих друзьях и ненавистной (или любимой?) манной каше на завтрак. И так далее. Причем 5 минут назад ты даже и не предполагал вспоминать всё это! Но вдруг вот вспомнил. Почему? Ну, понятное дело, потому что увидел воспитательницу, образ которой вызвал у тебя определенные АССОЦИАЦИИ. Так устроен человеческий мозг и наша память – мы мысленно связываем события, явления и людей друг с другом. Скажи себе «весна» - и будет один поток образов (ручьи, голубое небо, капель и т.д.). Скажи «моя бабушка» - совсем другой. Это и называется ассоциациями.

Этот эффект замечательно работает при решении геометрических задач:

Давай поясню на примере, чтоб было понятнее.

Задача. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

Строим чертеж и пишем известные данные.

Имеем:

Теперь давай думать. Треугольник \(ABC\) равносторонний. Что нам это дает? Что мы вообще знаем про равносторонние треугольники? Ну, во-первых, у них равны все три стороны (это следует из названия). Во-вторых, у них все углы равны между собой и градусная мера этих углов равна \(60°\). В-третьих – любая высота в них является биссектрисой и медианой. Пока всё. Ну и у треугольника \(DEF\) – аналогично.

Обрати внимание – это все новая и верная информация, которую мы получили из предыдущей. Но часть ее нам не пригодится при решении данной задачи. Поэтому пока что наносим потенциально возможные пути развития логической цепочки тонким серым цветом.

Продолжаем. Какие возможные пути нам дает информация об равенстве \(АВ\) и \(DE\)? Хм… Да пожалуй, что никаких не дает. Хорошо, значит, она пригодится в дальнейших рассуждениях сама по себе.

Всё? Нет, не всё. Мы ведь можем идти не только от исходных данных к цели, но и наоборот – от цели к исходным данным (вспоминай пример с квестом из предыдущей части статьи, там где про замок на острове). Действительно, давай зададимся вопросом – а как мы вообще можем доказать равенство треугольников? Ну, в школьном курсе есть для этого всего три признака! Помнишь их? Первый – по двум сторонам и углу между ними, второй – по стороне и двум прилежащим к ней углам, третий – по трем сторонам. Теория! Теория! Учи теорию! Без нее - никак!

Хорошо, добавляем эти данные в схему.

Теперь, пожалуй, мы выжали из условий задачи всё. Давай искать логические связи и пересечения.

Cходу бросается в глаза – равенство треугольников доказывается по трем сторонам и в каждом из треугольников есть равенство трех сторон. Плюс еще и в исходных данных есть равенство \(AB\) и \(DE\). Вот и связка!

Да, в самом деле, если \(AB = BC = CA\) и \(DE = EF = DF\), при этом известно, что \(AB = DE\), то значит все шесть сторон равны друг другу: \(BC = CA = AB = DE = EF = DF\). Таким образом, мы в треугольниках \(ABC\) и \(DEF\) имеем равенство трех пар сторон, следовательно, треугольники равны по третьему признаку. Что и требовалось доказать.

Итоговая логическая схема решения:

Итоговая запись решения:

Готово.

В более сложных задачах приходится делать большее количество промежуточных шагов при решении. Принцип их совершения такой же – каждый новый компонент полученной информации рассматриваешь на ассоциации и строишь от него «тропинки» во все стороны к новой информации. Ищешь связи и пересечения. Если не нашел, рассматриваешь дальше. И так пока не найдешь связку, цепочку от исходных данных к вопросу задачи. Как будто тропинку в лесу ищешь.

Делать это довольно интересно, надо только относиться к решению задач как к игре, а не тяжкой повинности.

Возможно, у тебя возник вопрос: «а что делать если ассоциации не появляются?». Ответ прост: «учи теорию и решай задачи!». Каждая новая теорема формирует в мозгу новые логические связи, а каждая новая задача закрепляет их.

И небольшой матхак:

В задачах по геометрии очень редко даются лишние условия. Если ты застопорился при решении, то внимательно посмотри, что из дано ты еще не пускал в дело.