Корень n-ой степени (10-11 класс). Как вычислить корень n-ой степени?

Корнем n-ой степени из действительного числа \(a\) называют такое число \(b\), \(n\)-ая степень которого равна \(a\).

\(\sqrt[n]{a}=b\), если \(b^n=a\)


Примеры:

\(\sqrt[4]{16}=2\), так как \(2^4=16\)
\(\sqrt[3]{-\frac{1}{125}}\)\(=\) \(-\frac{1}{5}\),так как \((-\frac{1}{5})^3\) \(=\) \(-\frac{1}{125}\)



Как вычислить корень n-ой степени?

Чтобы вычислить корень \(n\)-ой степени, надо задать себе вопрос: какое число в \(n\)-ой степени, даст выражение под корнем?

Например. Вычислите корень \(n\)-ой степени: а)\(\sqrt[4]{16}\); б) \(\sqrt[3]{-64}\); в) \(\sqrt[5]{0,00001}\); г)\(\sqrt[3]{8000}\); д) \(\sqrt[4]{\frac{1}{81}}\).

а) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(16\)? Очевидно, \(2\). Поэтому:

\(\sqrt[4]{16}=2\)

б) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(-64\)?

\(\sqrt[3]{-64}=-4\)

в) Какое число в \(5\)-ой степени, даст \(0,00001\)?

\(\sqrt[5]{0,00001}=0,1\)

г) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(8000\)?

\(\sqrt[3]{8000}=20\)

д) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(\frac{1}{81}\)?

\(\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\frac{1}{3}\)

Мы рассмотрели самые простые примеры с корнем \(n\)-ой степени. Для решения более сложных задач с корнями \(n\)-ой степени – жизненно необходимо знать их свойства.

Пример.  Вычислите:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{9} -\) \(\frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}}\)\(=\)

В данный момент ни один из корней нельзя вычислить. Поэтому применим свойства корня \(n\)-ой степени и преобразуем выражение.
\(\frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}}\)\(=\)\(\sqrt[5]{\frac{-64}{2}}\)\(=\)\(\sqrt[5]{-32}\)  т.к. \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)\(=\)\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

\(=\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{-3}\cdot \sqrt{27}\cdot \sqrt[3]{9}-\sqrt[5]{-32}=\)

 

Переставим множители в первом слагаемом так, что бы квадратный корень и корень \(n\)-ой степени стояли рядом. Так легче будет применять свойства т.к. большинство свойств корней \(n\)-ой степени работают только с корнями одинаковой степени.
И вычислим корень 5-ой степени.

\(=\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{-3}\cdot \sqrt[3]{9}-(-5)=\)

 

Применим свойство \(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\) и раскроем скобку

\(=\sqrt{81}\cdot \sqrt[3]{-27}+5=\)

 

Вычисли \(\sqrt{81}\) и \(\sqrt[3]{-27}\)

\(=9\cdot(-3)+5 =-27+5=-22\)





Корень n-ой степени и квадратный корень связаны?

Да, арифметический квадратный корень является как раз корнем \(n\)-ой степени, у которого \(n=2\). Математики договорились для упрощения записи эту двойку над корнем не писать, то есть \(\sqrt[2]{a}\) записывать просто \(\sqrt{a}\). Суть при этом осталась той же.

корень n-ой степени.png

Заметим, что также как и в квадратном корне, корнем \(n\)-ой степени из \(a\) называют число \(b\), а не запись \(\sqrt[n]{a}\). То есть, корень третьей степени из \(8\), это именно \(2\), а не \(\sqrt[3]{8}\). Но если корень «неизвлекаем» - его проще записать как \(\sqrt[n]{a}\) (например, \(\sqrt[3]{23}\). Такие числа называются иррациональными.

В любом случае, любой корень любой степени - это просто число, пусть и записанное в непривычном вам виде.



Особенность корня n-ой степени

Корень \(n\)-ой степени с нечетными \(n\) может извлекаться из любого числа, даже отрицательного (см. примеры в начале). Но если \(n\) - четное (\(\sqrt[4]{a}\), \(\sqrt[6]{a}\),\(\sqrt[8]{a}\)… ), то такой корень извлекается только если \(a ≥ 0\) (кстати, у квадратного корня так же). Это связано с тем, что извлечение корня – действие, обратное возведению в степень.

корень n-ой степени1.png

А возведение в четную степень делает даже отрицательное число положительным. Действительно, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Поэтому мы не можем получить под корнем четной степени отрицательного числа. А значит, и извлечь такой корень из отрицательного числа – не можем.

корень n-ой степени2.png

Нечетная же степень таких ограничений не имеет – отрицательное число, возведенное в нечетную степень останется отрицательным: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=-32\). Поэтому под корнем нечетной степени можно получить отрицательное число. А значит и извлечь его из отрицательного числа – тоже можно.

корень n-ой степени 3.png

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*