Векторы. Вся теория для ЕГЭ

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Координаты вектора. Если точки \(A (x_1; y_1)\) и \(B (x_2; y_2)\) соответственно являются началом и концом вектора \(\vec{a}\), то числа \(x_2 − x_1\) и \(y_2 − y_1\) равны соответственно первой и второй координатам вектора \(\vec{a}\).

\begin{gathered} A(1 ; 1), B(9 ; 5) \\ \overrightarrow{A B}\{9-1 ; 5-1\} \\ \overrightarrow{A B}\{8 ; 4\} \end{gathered}

Модуль или длина вектора. Если вектор \(\vec{a} \) имеет координаты \(\left\{a_1 ; a_2\right\}\), то \( |\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\).

\begin{gathered} \overrightarrow{A B}\{8 ; 4\} \\ |\overrightarrow{A B}|=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4 \sqrt{5} \end{gathered}

Координаты суммы векторов. Если координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно равны \(\left\{a_1 ; a_2 \right \} \) и \(\left\{b_1 ; b_2\right\}\), то координаты вектора \(\vec{a}+\vec{b}\) равны \(\left\{a_1+b_1 ; a_2+b_2\right\}\).

\begin{gathered} \overrightarrow{A B}\{8 ; 4\}, \overrightarrow{K L}\{3 ; 5\} \\ \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{K L}=\{8+3 ; 4+5\}=\{11 ; 9\} \end{gathered}

Правила сложения двух векторов.
Правило треугольника. Отложим от произвольной точки $A$ вектор $\overrightarrow{A B}$, равный вектору $\vec{a}$, а от точки $B$ отложим вектор $\overrightarrow{B C}$, равный вектору $\vec{b}$. Вектор $\overrightarrow{A C}$ называют суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и записывают $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{A C}$.

Правило параллелограмма. Отложим от произвольной точки $A$ вектор $\overrightarrow{A B}$, равный вектору $\vec{a}$, и вектор $\overrightarrow{A D}$, равный вектору $\vec{b}$. Построим параллелограмм $A B C D$. Тогда искомая сумма $\vec{a}+\vec{b}$ равна вектору $\overrightarrow{A C}$.

Разность векторов. Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называют такой вектор, сумма которого с вектором $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$.

Координаты разности векторов. Если координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно равны $\left(a_1 ; a_2\right)$ и $\left(b_1 ; b_2\right)$, то координаты вектора $\vec{a}-\vec{b}$ равны $\left(a_1-b_1 ; a_2-b_2\right)$.

\begin{gathered} \overrightarrow{A B}\{8 ; 4\}, \overrightarrow{K L}\{3 ; 5\} \\ \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{K L}=\{8-3 ; 4-5\}=\{5 ;-1\} \end{gathered}

Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ и числа $k$, отличного от нуля, называют такой вектор $\vec{b}$, что:

1.  $|\vec{b}|=|k||\vec{a}|$ (т.е. длина нового вектора будет в $|k|$ раз больше); 
2. если $k>0$, то $\vec{b} \uparrow \uparrow \vec{a}$ (сонаправленные); если $k<0$, то $\vec{b} \uparrow \downarrow \vec{a}$ (противоположно направленные).

Координаты умноженного вектора. Если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\left(a_1 ; a_2\right)$, то вектор $k \vec{a}$ имеет координаты $\left(k a_1 ; k a_2\right)$. $$ \begin{gathered} \overrightarrow{A B}\{8 ; 4\} \\ 3 \overrightarrow{A B}=\{3 \cdot 8 ; 4 \cdot 5\}=\{32 ; 20\} \end{gathered} $$ Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. \begin{gathered} \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \angle(\vec{a}, \vec{b})\end{gathered} \begin{gathered} |\overrightarrow{A B}|=6 \sqrt{3},|\overrightarrow{K L}|=6 \sqrt{3}, \angle(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{K L})=60^{\circ} \\ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{K L}=6 \sqrt{3} \cdot 6 \sqrt{3} \cdot \cos 60^{\circ}=54 \end{gathered}
 Скалярное произведение векторов $a\left(a_1 ; a_2\right)$ и $b\left(b_1 ; b_2\right)$ можно вычислить по формуле:  \begin{gathered} \vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2 \end{gathered} \begin{gathered} \overrightarrow{A B}\{8 ; 4\}, \overrightarrow{K L}\{3 ; 5\} \\ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{K L}=\{8 \cdot 3 ; 4 \cdot 5\}=\{24 ; 20\} \end{gathered}Условие перпендикулярности двух векторов. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. $$ \text { Если } \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \text {, то } \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^{\circ} $$ Косинус угла между ненулевыми векторами $\vec{a}\left(a_1, a_2\right)$ и $\vec{b}\left(b_1, b_2\right)$ можно вычислить по формуле:  \begin{gathered} \cos \angle(\vec{a}, \vec{b})=\frac{a_1 b_1+a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2}} \end{gathered} \begin{gathered} \overrightarrow{A B}\{8 ; 4\}, \overrightarrow{K L}\{3 ; 5\} \\ \cos \angle(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{K L})=\frac{8 \cdot 3+4 \cdot 5}{\sqrt{8^2+4^2} \cdot \sqrt{3^2+5^2}}=\frac{14}{\sqrt{80} \cdot \sqrt{34}}=\frac{44}{4 \sqrt{5} \cdot \sqrt{34}}=\frac{11}{\sqrt{170}} \end{gathered}Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
$$
a^2=b^2+c^2-2 b c \cos \angle(b, c)
$$

\begin{gathered} \cos \phi=0,3 \\ a^2=8^2+15^2-2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 0,3 \\ a^2=289-72 \\ a=\sqrt{217} \end{gathered}