Теория для 18 задания ЕГЭ

Цифры и числа – это не синонимы. Цифры – это символы, которыми записывают числа. Числа состоят из цифр, как слова состоят из букв. Пример: число \(1806\) состоит из цифр \(1\), \(8\), \(0\) и \(6\).

Однозначные числа – числа, состоящие из одной цифры, например \(7\). Двухзначные числа – состоящие из двух цифр, например \(29\). Трехзначные – из трёх, например \(341\). И так далее.

Простое число – число, имеющее только два делителя, – единицу и само себя (при этом число \(1\) простым не считается). Пример: \(13\) или \(277\).

Составное число – число, имеющее больше двух делителей. Например, \(12\) или \(735\).

Натуральное число – целое положительное число. Пример: \(5\), \(34\), \(6908\)…
\(0\) – не натуральное, \(-7\) – тоже.

Четное число – целое число делящиеся на \(2\). Нечетное число – целое число не делящиеся на \(2\). Пример: \(12\), \(1000\), \(106\) – четные; \(3\), \(99\), \(9000001\) – нечетные.

Если написано «попарно различные числа», это означает, что все числа в наборе разные. То есть, любые \(2\) числа не равны друг другу. (Для меня загадка, почему в задачах не пишут просто «все числа разные»).

Если цифры числа неизвестны, их можно записать буквами и провести сверху черточку. Пример: \(\overline{abc}\) – число, состоящие из цифр \(a\), \(b\), \(c\).

Любое двухзначное число можно представить как: \(\overline{ab}=10a+b\).
                                                                       Трехзначное: \(\overline{abc}=100a+10b+c\).
                                                               Четырехзначное: \(\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\).
                                                                         \(n\) – значное: \(\underbrace{\overline{abcd…z}}_{n \;цифр} =10^{n-1}a+10^{n-2} b+...+z\).

Признаки делимости

• На \(2\): последняя цифра числа делится на \(2\) (в том числе \(0\))

• На \(3\): сумма цифр числа делится на \(3\). Например, число \(4635\) делится на \(3\), т.к. \(4+6+3+5=18\) (а \(18\) делится на \(3\))

• На \(4\): две последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на \(4\)

• На \(5\): последняя цифра \(0\) или \(5\)
  

• На \(6\): одновременно соблюдаются признаки делимости на \(2\) и \(3\)
  

• На \(7\): признаков делимости, увы, нет
  

• На \(8\): три последние цифры нули или образуют число, делящееся на \(8\)
  

• На \(9\): сумма цифр числа делится на \(9\)
  

• На \(10\): последняя цифра числа - ноль




• На \(11\): разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на \(11\).
  Например, число \(281765\) делится на \(11\), т.к. сумма цифр нечетных мест \(2+1+6=9\), сумма цифр на четных \(8+7+5=20\), т.е. разность между ними \(11\), а \(11\) делится на \(11\)



Если разность равна нулю – число тоже будет делиться на \(11\). Пример: число \(5247\).

• На \(25\): две последнее цифры \(00\), \(25\), \(50\) или \(75\)

• На \(100\): две последнее цифры \(00\)
  

• На \(125\): три последнее цифры \(000\) или образуют число, делящееся на \(125\).