Теория для 19 задания ЕГЭ

  1. Цифры и числа – это не синонимы. Цифры – это символы, которыми записывают числа. Числа состоят из цифр, как слова состоят из букв. Пример: число \(1806\) состоит из цифр \(1\), \(8\), \(0\) и \(6\).

  2. Однозначные числа – числа, состоящие из одной цифры, например \(7\). Двухзначные числа – состоящие из двух цифр, например \(29\). Трехзначные – из трёх, например \(341\). И так далее.

  3. Простое число – число, имеющее только два делителя, – единицу и само себя (при этом число \(1\) простым не считается). Пример: \(13\) или \(277\).

  4. Составное число – число, имеющее больше двух делителей. Например, \(12\) или \(735\).

  5. Натуральное число – целое положительное число. Пример: \(5\), \(34\), \(6908\)…
    \(0\) – не натуральное, \(-7\) – тоже.

  6. Четное число – целое число делящиеся на \(2\). Нечетное число – целое число не делящиеся на \(2\). Пример: \(12\), \(1000\), \(106\) – четные; \(3\), \(99\), \(9000001\) – нечетные.

  7. Если написано «попарно различные числа», это означает, что все числа в наборе разные. То есть, любые \(2\) числа не равны друг другу. (Для меня загадка, почему в задачах не пишут просто «все числа разные»).

  8. Если цифры числа неизвестны, их можно записать буквами и провести сверху черточку. Пример: \(\overline{abc}\) – число, состоящие из цифр \(a\), \(b\), \(c\).

  9. Любое двухзначное число можно представить как: \(\overline{ab}=10a+b\).
                                                                           Трехзначное: \(\overline{abc}=100a+10b+c\).
                                                                   Четырехзначное: \(\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\).
                                                                             \(n\) – значное: \(\underbrace{\overline{abcd…z}}_{n \;цифр} =10^{n-1}a+10^{n-2} b+...+z\).

  10. Признаки делимости

    • На \(2\): последняя цифра числа делится на \(2\) (в том числе \(0\))

    • На \(3\): сумма цифр числа делится на \(3\). Например, число \(4635\) делится на \(3\), т.к. \(4+6+3+5=18\) (а \(18\) делится на \(3\))

    • На \(4\): две последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на \(4\)

    • На \(5\): последняя цифра \(0\) или \(5\)

    • На \(6\): одновременно соблюдаются признаки делимости на \(2\) и \(3\)

    • На \(7\): признаков делимости, увы, нет

    • На \(8\): три последние цифры нули или образуют число, делящееся на \(8\)

    • На \(9\): сумма цифр числа делится на \(9\)

    • На \(10\): последняя цифра числа - ноль

    • признаки делимости на примере 180

    • На \(11\): разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на \(11\).
      Например, число \(281765\) делится на \(11\), т.к. сумма цифр нечетных мест \(2+1+6=9\), сумма цифр на четных \(8+7+5=20\), т.е. разность между ними \(11\), а \(11\) делится на \(11\)

    • Признак деления на 11

      Если разность равна нулю – число тоже будет делиться на \(11\). Пример: число \(5247\).

    • На \(25\): две последнее цифры \(00\), \(25\), \(50\) или \(75\)

    • На \(100\): две последнее цифры \(00\)

    • На \(125\): три последнее цифры \(000\) или образуют число, делящееся на \(125\).




  11. Делимость чисел:

    • Число \(b\) делится на число \(a\), если найдётся такое целое число \(q\), что \(b=a \cdot q\).
      Обозначается \(b \,\vdots \, a\). Например, \(6\) делится на \(2\), т.к. \(6=2\cdot 3\).
      Также в этом случае число \(b\) называют кратным числу \(a\).

    • Делитель – число, на которое делится другое число без остатка. Например: \(a\) – в предыдущем пункте делитель числа \(b\); \(4\) - делитель числа \(8\), \(13\) - делитель числа \(39\), \(100\) - делитель числа \(10000\).

    • Общим делителем чисел называют такое число, которое является делителем для каждого из них. Например, общим делителем чисел \(12\) и \(30\) будет число \(4\).

    • Два числа называются взаимно простыми, если их общим делителем является только \(1\). Например: \(12\) и \(5\);   \(25\) и \(14\);   \(3\) и \(11\).
      Замечание: два любых простых числа автоматически являются взаимно простыми.

    • Если число делится на каждое из двух взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
      Например, \(5\) и \(3\) – взаимно простые числа. Число \(6825\) делится и на \(5\) (последняя цифра числа пятерка), и на \(3\) (сумма цифр \(6+8+2+5=21\) - делится на \(3\)). Значит, \(6825\) делится на \(15\) (произведение \(5\) и \(3\)).

    • Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то и их произведение делится на это число. Например, \(9m\, \vdots \, 3\), так как \(9\) делится на \(3\) (здесь и далее \(m\), \(k\) и \(n\) – любые целые числа).

    • Если два числа делятся на некоторое число, то и их сумма, и их разность делятся на это число. Например, \((3k+9m)\, \vdots \, 3\), так как \(3k\) – делится на \(3\) и \(9m\) – делится на \(3\). Еще пример: \((99-88+77)\, \vdots \, 11\).

    • Если одно из чисел делится на некоторое число, а второе нет, то их сумма и их разность не делятся на это число. Например, если \(k\) целое, то: \((3k+17)\) знак не делится \(3\);  \((930-174)\) знак не делится \(10\).

    • Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое делится на третье. Или на языке математики - если \(a\, \vdots \, b\) и \(b\, \vdots \, c\), то \(a\, \vdots \, c\).
      Например, т.к. \(1000\, \vdots \, 100\) и \(100\, \vdots \, 25\), то и \(1000\, \vdots \, 25\). Еще пример: если \(63n\, \vdots \, m\) и \(m\) - четное, то \(63n\) - четное.

    • Если произведение нескольких чисел делится на некоторое простое число, то хотя бы одно из них делится на это простое число. Например, если \(5k\,⋮\,3\), то \(k\,⋮\,3\).



  12.  Основная теорема арифметики:

    • Каждое натуральное число, большее единицы, либо является простым, либо может быть разложено на простые множители.

    • Примеры:
      число \(20\) может быть разложено в произведение \(2\cdot 2\cdot 5\)
      число \(105 =21 \cdot 5=7\cdot 3 \cdot5\)
      число \(17\) – является простым числом и разложено быть не может.

      Замечание: разложение \(17\) как \(17\cdot 1\) – не подходит, т.к. единица не считается простым числом.

    • Любые два разложения одного и того же числа могут отличаться только порядком множителей.
      Например, разложение числа \(6\) мы можем записать либо как \(2\cdot 3\), либо как \(3\cdot 2\) и более никак.
      Замечание: вот именно поэтому \(1\) не считается простым числом, ведь иначе любое число имело бы бесконечно много разложений: \(2\cdot 3\cdot 1\);   \(2\cdot 1\cdot 3\cdot 1\);   \(2\cdot 1\cdot 3\cdot 1\cdot 1\cdot 1\)….


  13. Арифметическая и геометрическая прогрессия

определение и примеры арифметической и геометрической прогрессии
формулы арифметической и геометрической прогрессии


Хочу задать вопрос

*